找规律(一)
这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，
(1) 1，2，3，4，5，6，⋯
(2) 1，2，4，8，16，32；
(3) 1，0，0，1，0，0，1，⋯
(4) 1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。如，数列(1)的第3 项是3，数列(2)的第3 项是4。一般地，我们将数列的第n 项记作an。数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n 项an＝n。数列(2)的规律是：后项=前项×2。数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4 来作一些说明。
例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)4，7，10，13，( )； (2)84，72，60，( )，( )；
(3)2，6，18，( )，( )， (4)625，125，25，( )，( )；
(5)1，4，9，16，( )， (6)2，6，12，20，( )，( )，
解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现
(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。
(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。
(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。
(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。
(5)的规律是：数列各项依次为1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，
所以应填5×5=25。
(6)的规律是：数列各项依次为2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，
所以，应填 5×6=30， 6×7=42。
例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；
(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；
(3) 3，7，10，17，27，( )；
(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1 得到后一组数，所以应填4，5。
(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7 的次序知，应填8，4。
(3) 这个数列的规律是： 前面两项的和等于后面一项， 故应填(17+27=)44。
(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。
例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)18，20，24，30，( )；
(2)11，12，14，18，26，( )；
(3)2，5，11，23，47，( )，( )。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，⋯其规律是“依次加2”，因为6 后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，⋯按此规律，8 后面为16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；
(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。
解：(1)数列的第1，3，5，⋯项组成一个新数列12，17， 22，⋯其规律是“依次加5”，22 后面的项就是27；数列的第2，4，6，⋯项组成一个新数列15，30，45，⋯其规律是“依次加15”，45 后面的项就是60。故应填27，60。
(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，⋯中，8 后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，⋯ 中，4 后面的数应为2。故应填11，2。
练习5
按其规律在下列各数列的( )内填数。
1.56，49，42，35，( )。
2.11， 15， 19， 23，( )，⋯
3.3，6，12，24，( )。
4.2，3，5，9，17，( )，⋯
5.1，3，4，7，11，( )。
6.1，3，7，13，21，( )。
7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。
8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。
9.2，5，10，17，26，( )。
10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。
11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。
(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？
(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？