50道典型计算题解析
【基准法】93 + 96 + 97 + 95 + 89 + 90 + 94 + 87 + 95 + 92 【解析】(1)原式
=(90 + 3) +(90 + 6) +(90 + 7) +(90 + 5) +(90-1) +90 +(90 + 4) +(90 - 3)+(90 + 5)+(90 + 2)
= 90x10 + 3 + 6 + 7 + 5-1 + 4 — 3 + 5 + 2 = 900 + 28 = 928
【位值原理】(123456 + 234561 + 345612 + 456123 + 561234 + 612345) + 3
【解析】仔细观察我们可以发现1、2、3、4、5、6分别在个、十、百、千、万、十万
6个数位上各出现过一次，所以原式
=[(1+2+3 +4+5 +6)x111111]-3 = 21x111111-3 = 7x111111 = 777777.
【巧妙分组】
2005 + 2004 - 2003 - 2002+ 2001+ 2000 -1999-1998 +1997+ 1996 7- 6 + 5 + 4- 3 - 2+1
【解析】将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0,后2004项的计算结果都 是0,剩下第一项，结果是2005.
【拆分取整】2999 + 999 x 999
【解析】计算时9、99、999类的数字时可以将其看成10-1, 100-1、1000-1或者拆
出1和其凑整计算，故原式
= 2000 + 999 + 999 x 999
= 2000 + 999000
= 1001000
【乘法凑整】333 333x333 333
【解析】原式= 3x111 111x3x111 111
= 999999x111 111
= (1000000-1)x111 111
= 111 111000 000-111 111
= 111 110888 889
【乘法分配律逆用】
2005 x 2004 - 2004 x 2003 + 2003 x 2002 - 2002 x 2001+ ……+ 3 x 2 - 2 x 1
【解析】由原式得：(2005-2003)x2004+(2003-2001)x2002+...+(3-l)x2
=2x(2004+2002+2000+.. .+2)
=2x2x(1002+1001+1000+...+1)
= 2010012。
【乘法分配律逆用】80x 1995-3990 +1995x22
【解析】把3990分解为1995x2,这样80x1995、2x1995、22x1995中都有相同的乘 数 1995 , 可以利用乘法分配律进行巧算，原式
=8 Ox 1 9 -9 5x 2 4 9 9 >6 t 9 9 S 2 或
8.【乘法分配律逆用】20.09 x 62 + 200.9 x 3.9 - 7 x 2.87
【解析】原式=20.09x62 + 20.09x39-20.09
= 20.09x(62+39—1)
= 20.09x100 = 2009
9.【乘法分配律逆用】1.23452 + 0.76552 + 2.469x0.7655・
【解析】原式二 1.23452 +0.7655x (0.7655+2.46功
=1.23452 + 0.7655x Q.2345+ 2)
=1.2345 x Q.2345 + 0.7655) + 0.7655 x 2
= 1.2345x2 + 0.7655x2
= 0.2345 + 0.7655)x2
=2x2=4
10.【分组凑整】
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995
—I 1 1 1 1 1 1 1 F H 1 F H F +
122233333 1995 1995 1995 1995
【解析】观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2;分母是3的和为3;
次类推；分母是1995的和为1995.这样，此题简化成求1+2+3 + + 1995
的和.
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1
—I 1 1 1 1 1 1 1 F H 1 \~ H \~ H
122233333 1995 1995 1995 1995
= 1+2 + 3+4+……+ 1995=(1 + 1995)x1995 + 2
= 998x1995 = 1991010
44 4 4 4
11.［加补凑整】9-+99-+ 999- + 9999- + 99999
5 5 5 5 5
44 4 4 4
【解析】原式=9 + — + 99 + — +999 + — + 9999 + — + 99999 + —
5 5 5 5 5
4 4 4 4
=9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + — + — + — + — + —
5 5 5 5
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000-5 +-X5 =111109
5
12.
【分数运算与约分】
8史x上寻癸x59
31 102 17
33 3 32
■ x
512 , 236 93
原式=8虬三、巳5八512x3x93
31 102 25
264x5x17x59x 512x3x93 =92
31x102x25 33x236x32 5
以【分数除法】2。。3。。7爲
2007
【解析】2007.2007—=2007x
8个90
一 ,敝压如,丄s 1 202 30303 90 •••909
【整体约分】计算一 + + +
19 1919 191919 19-19
V - J
9个19
【解析】本题用是重复数字的拆分和分数计算的综合,
例如：abcabc — abc x 1001 = dbc x 7 x 11 x 13 7
ababab =q》x10101=q》x3x7x 13x37
8个10
【连锁约分】一根铁丝，第一次剪去了全长的丄，第二次剪去所剩铁丝的丄，第三次
2 3
剪去所剩铁丝的丄，• •… 第2008次剪去所剩铁丝的丄，这时量得所剩铁丝为1米，那
4 2009
么原来的铁丝长 米。
1 700Q
【解析】第2007次剪去后剩下的铁丝为1^(1 )= ——(米)，第2006次剪去后剩下
2009 2008
之厶”以1/丄2009 / 1 、 2009 2008 .、厶—r丨 止七之厶厶丄處吐土
的铁丝长为 4-(1 ) = x ,依次可以付出，原来的铁丝长为
2008 2008 2008 2007
2009 2008 2 ““ , 也、
X x...x-=2009 (米)。
2008 2007 1
［乘法分配律逆用】-x23—+ 16x- + 1xA
7 13 7 7 13
4 I? 4 4 1
【解析】原式二史x23切+ 4x史+史x-L
7 13 7 7 13
【乘法分配律正用】4x5-+5x6-+6x7-+7x8-+8x9-
4 5 6 7 8
【解析】原式二4x(5 + ')+5x(6 + ：)+ 6x(7 + ,7x(8 + ?) +8x(9+：)
= 4x5 + 3+ 5x6+4+6x7 + 5+7x8+6+8x9+7 = 245
【乘法分配律正用】72-^-+81-^- + 91-^-
【解析】原式=| 70+2二 +二+ | 80 + 1= |士二 + 90 + 1- 4--
= 70 + Z + i+80 + § + 1 + 90 士 2 + 1
3 5 7
= 30+50 + 70 + 3
= 153
【解析j 二（些+丝+竺）,（竺+当理）=（丝+丝+竺H癸+兰+箜）
11 13 17 11 13 17 11 13 17 11 13 17
^]^^.76x±-76x± + 23x± + 23x±-53x± + 53x±
= ±x(76_53)_±x(76_23)+±x(23 + 53)
二1
1 1 1A ( 1 \
- + 寻 19--，其中()
、4 5 6丿I 2丿
【解析】右边二若号=土，左式嗚*
41 1
42~O
所以,
）二42。
(0.00325 + 0.013)
(0.22—0.2065)寻(36.x 0.015)
0.00325x3.6 = 325x36x10000 二性二4444#
0.0135x0.015x0.013 135x15x13 9 9
.【乘法分配律正用】1994捉9+寿790 + 244.9
【解析】原式= 1994.5 x 79 + 0.24 x 79x10 + 3.1x79 = 1994.5 x 79+ 2.4 x 79 x 3.lx79
=(1994.5+24 + 3.1)x79= 2000 x 79 = 158000
・【分数小数混合运算】
3 21；
【解析】本题观察发现除以訐当于乘以3.6则公因数就出来了
［4.853.6 + 6.15诚卜］5.5-1.75〈令务
( 7 5 7 19
= -x(4.85x3.6-lx3.6 + 6.15x3.6)+ 5.5--x_-_x_
( 35 19
= _x(4.85 —l + 6.15)x3.6+ 5.5
4 ' 7 I 12 12
——x 36 +5.5 = 9+ 5.5 — 4.5 = 10
4 12
1x2x4 + 2x4x8 + 3x6x12 10 x 20 x 40
1x3x6 +2x 6x12 + 3 x9x 18 10x30x60
届义 1x2x4x(13 +23 + 33+■■■+103) 4 1x3x6x(13 +23 +33+---+103) 9
3 4 98 99
1—+2- + 3- + ... + 97 —+ 98——
25.徳体约分】3 4」器闕
3—+ 5—+7 — + ... +195——+ 197
4 5 99 100
【解析】观察发现分子和分母的项数相同，各有98项，且分子分母中对应项的分数的 分母相同，进一步观察分子分母中相对应的数，可以发现分母中的数恰好都 是分子中的数的2倍.于是：
“98 cc 99
4 5 99 100
(2 3 4 98 99
2x 1—+2—+3—+... + 97—+98 ——
" 3 4 5 99 100
26.【数列求和】1.1+ 3.3 + 5.5 + 7.7 + 9.9+11.11+13.13 +15.15 +17.17 +19.19 . 【解析】原式= 5.5x5 + 15.15x5
=(5.5 + 15.15)x5
= 20.56x5 = 103.25
“『痴知1 2 3 1990
1990 1990 1990 1990
r 左力丄匕.rr V- 1+2 + 3+，，，+1990
［解析］原式二
1990
(1+1990)x1990+2
1990
= 995
2
1丄3纟+ 5二+7 兰+ 9? + 11四 + 13〃
13 13 13 13 13 13 13
= (l + 3+5 + 7 + 9 + ll + 13)+(m + $+g +負+ 普+浏 § = (1 + 13)x7 , 2+(5 + 1】)S2
13
4
49 + 4—
13
53 —
13
11111 1 1
一 + H 1 F 一 一 + ■
3 15 35 63 99 143 195
【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3 = 22-1=1x3,
15 = 42-1 = 3x5, , 195 = 142-1=13x15 ,
e、y 力 1 1 1 1 1 1 1
所以原式= + + + + + +
1x3 3x5 5x7 7x9 9x11 11x13 13x15
29.【分数裂差】
1
+ -x
2
1
+ …+_x
2
13 15
%•【分数裂差】岩*晶+品
251
251 F 2000x2004 2004x2008
1 1 1 1 1
1 1 • • H 1
1x2 2x3 3x4 500x501 501x502
251 fl 1 1 1 1
x 1 1 1 + 16
11111
251 501 501 ^21
= x = = 15—
16 502 32 32
501 502
31.［分数裂差】丄+丄+ -J—+......+
1 1 + 2 1 + 2 + 3 1+2 + ••■ + 100
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此 类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开 始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有i = —4—,
1 (1+ 1成 1 lx 2
1^2- (1 + 2)x2 _ 2^3
2
山工 2 2 2
式= 1 1 F
1x2 2x3 3x4
+ ^^ = 2、(1-丄)=坐=1 竺
100x101 101 101 101
【分数裂差】—+ —+ —+ + + -^- + ±
2x5 5x7 7x11 11x16 16x22 22x29 29
■ 届劣 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
［分数裂差】+ + + 1
1x3x5 3x5x7 5x7x9 2001x2003x2005
【解析】原式二丄
4
Q ]_>
*1x3 3x5；
Q
*3x5 5x7丿
Jx3 2003 x 2005 >
2001x2003
1
2003x2005
1004003
—12048045
34.【分数裂差，注：本题也可以用还原法】
2 3 4
2x3 2x3x4 2x3x4x5
7 2
【解析】原式"+W-+一一 + +...+
2x3 2x3x4 2x3x4x5 2x3x4,・・xl0
2-1 3-1 4-1 10-1
— 1 1
2 2x3 2x3x4 2x3x 4---X10
1 . 3628799
2x3x4.・x9xl() —3628800
原式=土
36.【分数裂和】
1
2
【解析】原式
= 21-11=10
182 +192 192 + 202
H 1
1x2 2x3 18x19 19x20
1 2 3 2 3 4 19 18 19 20 2 c “ 19
2 1 2 3 4 3 18 19 20 19 1 20 20
5x5 98x98 99x99
X …X X
6x4 99x97 100x98
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99 2 99 99
二—"X — X —" X X — X X X X X X X —
1 3 2 4 3 5 97 99 98 100 1 100 50
r ajiszjA zv 1 + 2 1+2+3 1+2 + 3+4
【连锁约分】——X X
2 2 + 3 2 + 3 + 4 2 + 3+…+50
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
48x49 49x50 50x51 3 50、23
x x = — x ——=2——
47x50 48x51 49x52 1 52 26
【整数裂项】1x2+2x3 +3x4+•••+49x50
【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设5= 1x2+2x3 +3x4+ ••■+49x50
1x2x3 = 1x2x3
2x3x3 = 2x3x (4-1) =2x3x4- 1x2x3
3x4x3=3x4x (5-2) =3x4x5-2x3x4……
49x50x3 = 49x50x (51-48) =49x50x51-48x49x50
3S= 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + ... + 49x50x3 = 49x50x51
S= 49x50x51+3 = 41650
【整数裂项】lx4+4x7+7x10 +…+49x52
【解析】＜S= lx4+4x7+7x104-49x52
1x4x9 = 1x4x7 + 1x4x2
4x7x9 = 4x7x (10-1) =4x7x10-1x4x7
7xl0x9 = 7xl0x (13 - 4) =7x10x13-4x7x10
49x52x9 = 49x52x ( 55 - 46 ) =49x52x55-46x49x52
95=49x52x55 + 1x4x2
S= ( 49x52x55 + 1x4x2) 4-9 = 15572
44.【定义新运算】表示-种运算符号，它的含义是：x*〃卜和切^ '已
1 1 2
知 2*1 =——+ 二一，求 1998*1999。
2x1(2 + 1)(1 + 以)3
［解析］根据题意得 = — ―, = — ,(2 +1)(1+ = 6,?4 = 1 ,所以
(2 + 1)(1+以)3 2(2 + 1)(1 + 刀)6 k 八 7
1 1 1 1
1998*1999 = 一一 + = — +一—= 2。0。+ 1998
1998x1999 (1998 + 1)(1999 + 1) 1998x1999 1999x2000 1998x1999x2000 3998 1
~ 1998 x 1999 x 2000 ~ 1998000
45.【定义新运算】我们规定：符号O表示选择两数中较大数的运算，例如: 5© 3=3© 5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5A3=3A5=3,计算:
• 15 23
(0.6©—) + (0.625A—)
—T —的结果是多少？
(0.3A—)+ .25)
99
【解析】
15 23 2 5
(0.6®—) + (0.625A—) - + -
23 35 3 8 二
~34 H
(0.3A—) + (—02.25) - + -
99 6 3 4
31一2431一12
［循环小数化分数】0.16 + 0.142857 +0.125+0.1
■ 苗上 16-1 142857 1
【解析】 原式= + +- +
100-10 999999 8
【数的估算】求丄+丄+丄+丄+
3 4 5 6
【解析】分段放缩.丄x4 +丄x3〈原式＜Lx3+Lx4,即1〈原式＜ 1E,所以原式整数
6 9 3 6 3
部分为1.
的整数部分是多少?
1 1 275
48.
【换元法】
621 739 458 1 1
126 358 947
739 458 1 \~
358 947
378］「621
20?J 1126
739 458
358 947
378］
207J
【解析】设々
621 739 458
1 1
126 358 947
739 458
1
358 947
49.
原式=ax\b^ —
［207
378
a
207
必=(宀)、竺=竺、亞=9
207 126 207
【分数运算与约分】7矗
亠 21934
. 25909
.18556
—1
35255
62811 25909 35255
X X
8333 21934 53811
3x7x3x997 13x1993 5x641x11
13x641 2x11x997 3x3x3x1993
7x5
_ 2^3
-I
11111 1 1
1 1 1
2 3 4 5 6 19 20
1 1 1 1 ~
1 1 1 1 11x20 12x19 13x18 14x17 15x16
1 1 1 1 c ,1 1 1 1 \
1+- + - + ... + 2x(- + — +... + ——+ ——)
I【解析】原式二
1,31 31 31 31 31、
—x ( H 1 H 1 )
31 11x20 12x19 13x18 14x17 15x16
1 1 1 1 Z1 1 1
2 3 20 2 9
50.【整体约分】
= J_x(U+5+5+5+5)
31 11x20 12x19 13x18 14x17 15x16
~T~
——x
31
1 1 1
一 + 一+... + 一
11 12 20
11111111
1 1 1 1 1 1 1 h
20 12 19 13 18 14 17 15
= T=31
31
10