二、因数与倍数第一讲 复习：
整除的算式的特征：
1.除数、被除数都是自然数，且除数不为０。
2.被除数除以除数，商是自然数而没有余数。
例：15能被5整除，我们就说，15是5的
倍数，5是15的因数。
知识点一：因数
问题一：一个长方形，它的面积是12平方厘米，如果长方形的长和宽都是整数，请同学们猜一猜这个长方形的长和宽各是多少？
所以12的因数有：
注意：1、在说因数（或倍数）时，必须说明谁是谁的因数（或倍数）。不能单独说谁是因数（或倍数）。2、因数和倍数不能单独存在。
例1 18的因数有那些？
方法一：想18可以有哪两个数相乘得到18=1×18 18=2×9 18=3×6
方法二：根据整除的意义得到
18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6
所以18的因数有：
表示方法：
1.列举法︰ 12的因数有：1，2，3，4，6，12
2.用集合表示︰
练习1：30的因数有哪些？36呢？
30的因数有：
36的因数有：
观察：18的最小因数是（ ），最大的因数是（ ）
30的最小因数是（ ），最大的因数是 ）
36的最小因数是（ ），最大的因数是（ ）
一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是（ ），最大因数是（ ）
你要知道：
（1）1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是它本身。
（2）除1以外的整数，至少有两个因数。
（3）任何自然数都有因数1。
练习2、把下列各数填入相应的集合圈中。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
15 16 18 20 24 30 36 6
36的因数 60的因数
知识点二：倍数
问题二：2的倍数有哪些？
2的倍数有：2，4，6，8 …
小蜗牛找倍数（找出3的倍数）。
练习3、5的倍数有哪些？7的倍数呢？
5的倍数：
7的倍数：
一个数的倍数的个数是（ ），一个数的最小的倍数是（ ），（ ）最大的倍数。
用字母表示因数与倍数的关系：a
1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
注： ① 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
② 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（ ）
④ 100以内的质数有25个：（ ）
关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
3、常见最大、最小
A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；
A的最大因数是：本身； 最小的偶数是：0；
A的最小倍数是：本身； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；
4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图
例：
分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3
5、用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。例：
分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是：
6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
7、两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
三、经验之谈：
书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边，把合数写在右边，比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36；
短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数
小试牛刀
一、填空。
1、最小的自然数是（ ），最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ）。
2、20以内的质数有（ ），20以内的偶数有（ ），20以内的奇数有（ ）。
3、20以内的数中不是偶数的合数有（ ），不是奇数的质数有（ ）。
4、三个连续奇数的和是87，这三个连续的奇数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
二、判断题，对的在括号里写“√”，错的写“×”。
（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（ ）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。（ ）
（3）7的倍数都是合数。（ ）
（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（ ）
（5）只有两个约数的数，一定是质数。（ ）
（6）两个质数的积，一定是质数。（ ）
（7）2是偶数也是合数。（ ）
（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（ ）（9）除2以外，所有的偶数都是合数。（ ）（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（ ）
（11）1既不是质数也不是合数。（ ）
（12）个位上是3的数一定是3的倍数。（ ）（13）所有的偶数都是合数。（ ）
（14）所有的质数都是奇数。（ ）
（15）两个数相乘的积一定是合数。 （ ）
三、下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合数有：
质数有：
四、 写出两个都是质数的连续自然数 。
五、写出两个既是奇数，又是合数的数 。
六、在（ ）内填入适当的质数。
10＝（ ）×（ ）
20＝（ ）×（ ）×（ ）
8＝（ ）×（ ）×（ ）
七、两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？
八、 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（ ）。
九、用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（ ），最大是（ ）。
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