密云县2012年初三第二次综合检测
数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． －3的绝对值是
A． 3 B． －． ±3 D．
2．函数的自变量x的取值范围是
A．x≠0 B．x≠．x≥1 D．x≤1
3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A． 长方体 B． 正方体
C． 三棱柱 D． 圆锥
4．一组数据1，－1，2，5，6，5的平均数和极差分别是
A．7和3 B．3和 C．5和7 D．3和5
5． 若，则的值为
A．－8 B．－ C．8 D． 6
6．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是
A． B． C． D．
7．如图，是半⊙O的直径，C是⊙O上一点，于D，
若，cm，则的长为
A． B．
C． D． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB
上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于
点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示
y关于x的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知，，则 ．
10．不等式组的解集是 ．
11．已知关于x的一元二次方程有实数根，则的最大值是 ．
12．如图，在边长为1的等边△ABC中，若将两条含圆心角的
、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积的比是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．用配方法解方程：．
15．已知：如图，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC，
EF⊥AB于点D．求证：AB=FE ．
16．已知＋b－1＝0，求代数式的值．
17．如图，A、B两点在反比例函数（＞0）的图象上．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连结AO、BO和AB，请直接写出△AOB的面积．
18．列方程解应用题：
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，
A、C为切点，∠BAC=30．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的长．
20．如图，在四边形中，AC平分∠BAD，于E．
设CD＝CB＝，AD＝9，AB＝15．
求的余弦值及AC的长．
21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
Ａ组：；
Ｂ组：
Ｃ组：
Ｄ组：
请根据上述信息解答下列问题：
（1）Ｃ组的人数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）本次调查数据的中位数落在 组内；
（4）若该区约有4300名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有
多少？
22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点．
（1）如图2， 与的角平分线相交于点．
求证：点是四边形的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的方程 ，其中a、b为实数．
（1）若此方程有一个根为（a ＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围．
24． 如图，在直角坐标系中，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点(，0)．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）将这条抛物线沿轴向右平移，使其经过坐标原点．
①在题目所给的直角坐标系中，画出平移后的
抛物线的示意图；
②设平移后的抛物线的对称轴与直线（B是直线与轴的交点）相交于点，判断以为圆心、为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；
（3）点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求点的坐标，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形．
25．已知菱形ABCD的边长为1，，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．
①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．
密云县2012年初三第二次综合检测
数学试卷答案参考及评分标准
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分．
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解：
4分
． 5分
14．（本小题满分5分）
解：原方程化为： …………………………………………1分
………………………………………………2分
………………………………………………3分
∴ ………………………………………………5分
15．（本小题满分5分）
证明：∵EF⊥AB于点D，∴ ∠ADE =90°．
∴ ∠1 +∠2=90°．-----------------------------1分
又∵∠C=90°， ∴ ∠1+∠B=90°．
∴ ∠B=∠2． -------------------------------2分
在△ABC和△FEA中，
-----------------------------------------------------------3分
∴ △ABC≌△FEA． -----------------------------------------------------------4分
∴ AB=FE ． -------------------------------------------------------------------------5分
16．（本小题满分5分）
解：
＝ ---------------------------------------------------3分
＝ ＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4分
∵ ＋b－1＝0，∴ ＋b＝1．
∴ 原式＝1 ． ----------------------------------------------------------------------------- 5分
17．（本小题满分5分）
解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数的图象上，
∴ ．
∴反比例函数解析式为．-------------------------------------2分
（2）△AOB的面积是 ． --------------------------------------------------------5分
18．（本小题满分5分）
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑， 1分
依题意得：， 3分
解得 （舍去），
∴ ． ---------------------------------------------------------------------------4分
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． 5分
四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分）
19．（本小题满分5分）
（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴ ．
∴．----------------------------------1分
∵ ∠BAC=30，
∴ ．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴ ．-------------------------------------------------------------------2分
∴△PAC是等边三角形．
∴ ． ------------------------------------------------------------------3分
( 2 ) 如图，连结BC．∵AB是直径，∠ACB=90．---------------------------------------4分
在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30，
∴．
又∵△PAC是等边三角形，
∴ ． ----------------------------------------------------------------5分
20．（本小题满分5分）
解：如图，在AB上截取，连结CF． -------------------------------------1分
∵ AC平分∠BAD，∴．
又，
∴△ADC≌△AFC．
∴ AF=AD=9，CF=CD=CB．------------2分
∴△CBF是等腰三角形．
又∵于E ，
∴ EF=EB=BF=（AB－AF）=3．--------------------------------------------------3分
在Rt△BEC中，． ---------------------------------4分
在Rt△BEC（或Rt△FEC）中，由勾股定理得 CE=5．
在Rt△AEC中，由勾股定理 得AC=13．-------------------------------------------5分
∴ 的余弦值为，AC的长为13．
21．（本小题满分5分）
解：（1）120； ---------------------------------1分
（2）图形正确 -------------------------------2分
（3）Ｃ；--------------------------------------3分
（4）达国家规定体育活动时间的人数约占
．------------4分
∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 （人）．-----------5分
22．（本小题满分5分）
证明：（1）如图2，过点作，
∵平分，
∴． -----------------------------------------1分
同理 ．
∴是四边形的准内点．----------------------2分
（2）
说明：①平行四边形对角线的交点（或者取平行四边形两对边中点连线
的交点）是准内点，如图3（1）和图3（2）； -------------------------4分
②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点是准内点，如图4. --5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（本小题满分7分）
解：（1）∵ 方程 有一个根为 ，
∴ ．整理，得 ．
∵ ， ∴ ，即． ---------------------------------------------3分
（2） ．
∵ 对于任何实数此方程都有实数根，
∴ 对于任何实数都有≥0 ，即≥0．
∴ 对于任何实数都有b≤．
∵ ，
当 时，有最小值．
∴ b的取值范围是b≤． ----------------------------------------------7分
24．（本小题满分7分）
（1）设，则．A（0,2）．
设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：．
∵过点(，0)，有．解得．
所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为．----------2分
（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3分
②相切．
理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的
对称轴为直线．
∵点是对称轴与直线的相交，
易求得点的坐标为（，）．
由勾股定理，可求得．
设原点O到直线AB的距离为d，则有 ．
∵点A为（0，2），点B为（，0），．
．．
这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等．
以为圆心、为半径的圆与直线相切． -------------------------------------5分
（3）设点的坐标为（，p）．
∵抛物线的对称轴与轴互相平行，即AO∥PC．
只需，即可使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）知，点的坐标为（，），
．．解得 ，．
点的坐标为（，）或（，）．----------------------------7分
25．（本小题满分8分）
证明：（1）如图1：分别连结OE、OF．
∵四边形ABCD是菱形，
，，，
且．
在Rt△AOD中，有．
又 E、F分别是边DC、CB的中点，．
．
点O即为等边△AEF的外心． -------------------------------------------------- 3分
（2）①猜想：△AEF的外心P落在对角线DB所在的直线上．
证明：如图2：分别连结PE、PA，作于Q，于H．
则．
∵，
在四边形QDHP中，．
又 ∵点P是等边△AEF的外心，，
，． ．
△PQE≌△PHA（AAS）．PQ=PH．
点P在的角平分线上．
∵菱形ABCD的对角线DB平分，
点P落在对角线DB所在的直线上． ----------------------------------- 6分
②． ---------------------------------------------------------------- 8分