2012年东城区初三一模试卷
数学卷
一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．计算：＝( )
A．1 B． C．3 D．5
2．我市深入实施环境污染整治，某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
3．已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B＝20°，∠D＝40°，那么∠BOD为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．因式分解的结果是( )
A． B． C． D．
5．如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是( )
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
7．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是弦，AC＝，∠AOC为( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．E、F分别是射线AC、CB上的动点，且AE＝BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE＝x，GH＝y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是( )
二、填空题(本题共16分，每小题4分)
9．函数自变量的取值范围是__________．
10．如图，点在双曲线上，点与点关于轴对称，则此双曲线的解析式为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为(1，0)，(3，0)，过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM＝MN，则点M的坐标为______________．
12．如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn―1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An―1Bn―1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn―1，△A2B1，△A3B2，…，△An―1AnBn―1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
13．计算：．
14．（1）解不等式：；
（2）解方程组
15．已知：如图，点坐标为，点坐标为．
（1）求过两点的直线解析式；
（2）过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
16．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
17．先化简：；若结果等于，求出相应x的值．
18．在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图：请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
（1）该班有学生多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（1）填表(不需要化简)
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E，MC(即MC′)同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
21．如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长．
22．已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m＝AB＋BC＋CD＋DA，探索m的取值范围．
（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m＝________．
（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，
从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是__________．
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23．已知一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a＜0，当二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．
24．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠B＝∠DAC＝45°．
（1）如图1，当∠C＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________
（2）如图2，若BD＝2，BA＝，求AD的长及△ACD的面积．
25．巳知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a＞0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．
2012年北京市东城区初三一模试卷
参考答案
1．A．2．C．3．C．4．A．5．C．6．A．7．A．8．C．
9．x≥3．10．．11．(，)12．；6．
13．解：原式＝＝．14．（1）解：，，所以．
（2）
15．（1）；（2）设点坐标为，依题意得，所以点坐标分别为．
，，所以的面积为或．
17．原式＝＝；由＝，可，解得x＝±．
19．（1）80－x，200＋10x，800－200－(200＋10x)；
（2）根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000．
整理，得x2－20x＋100＝0，解这个方程得x1＝x2＝10，
当x＝10时，80－x＝70＞50．
答：第二个月的单价应是70元．
20．解：（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵∠C＝∠B＝60°
∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB，
又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，
故BC＝2AD，
由已知，点M是BC的中点，
BM＝CM＝AD＝AB＝CD，
即△MDC中，CM＝CD，∠C＝60°，
故△MDC是等边三角形．
（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°，
∴∠BME＝∠AMF，
在△BME与△AMF中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝60°，
∴△BME≌△AMF(ASA)，
∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB，
∵∠EMF＝∠DMC＝60°，故△EMF是等边三角形，EF＝MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，
△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF，
△AEF的周长的最小值为2＋，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2＋．
21．（1）连结CE，过程略；
（2）∵，．
由（1）知，，∴．
在中，于，平分，
∴，∴．
由∽，得．
∴，
∴．
22．（1）20；（2）如图所示(虚线可以不画)，20≤m＜28．
23．解：（1）因为△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
所以不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的两个根，则x1＋x2＝－a，x1•x2＝a－2，因两交点的距离是，
所以|x1－x2|＝＝．即：(x1－x2)2＝13
变形为：(x1＋x2)2－4x1•x2＝13所以：(－a)2－4(a－2)＝13
整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1
又因为：a＜0，所以：a＝－1
所以：此二次函数的解析式为y＝x2－x－3．
（3）设点P的坐标为(x0，y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
所以：AB＝所以：S△PAB＝AB•|y0|＝
所以：＝
即：|y0|＝3，则y0＝±3
当y0＝3时，x02－x0－3＝3，即(x0－3)(x0＋2)＝0
解此方程得：x0＝－2或3
当y0＝－2时，x02－x0－3＝－3，即x0(x0－1)＝0
解此方程得：x0＝0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．
24．（1）AB＝AC或AD＝BD＝CD；
（2）AD＝，S△ACD＝．
提示：过点A作AE⊥BC，可以求出AD的长．过D作平行线或过C作垂线，可以利用两次相似求面积．
25．解：（1）令y＝0，由解得；
令x＝0，解得y＝．
∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，)，
该抛物线对称轴为直线x＝3．
∴OA＝2．
如图①，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．
由题意得：．
∴，∴∠O′AM＝60°．
∴，即．∴．
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．
(Ⅰ)如图②，设点P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM．
∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
(Ⅱ)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，
∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．
∴FB＝3，，∴3≤PB<．
∵PC≥4，∴PC>PB．
（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PB．
∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是(0，)，点D的坐标是(3，－a)．
点P的坐标是(3，t)，
∴PC2＝32＋(t－)2，PD2＝(t＋a)2．
整理得2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．
∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0
∴方程2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．
显然，满足题意．
∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．