2012年重庆市中考数学试卷
一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A．B．C．D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填人答题卷中对应的表格内）.
1．（2012重庆）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．0 D．2
考点：有理数大小比较。
解答：解：这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3．
故选A．
2．（2012重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形。
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
3．（2012重庆）计算的结果是（ ）
A．2ab B． C． D．
考点：幂的乘方与积的乘方。
解答：解：原式=a2b2．
故选C．
4．（2012重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．35° C．25° D．20°
考点：圆周角定理。
解答：解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°．
故选A．
5．（2012重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查市场上老酸奶的质量情况 B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命 C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率
考点：全面调查与抽样调查。
解答：解：A、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；
B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；
C、事关重大的调查往往选用普查；
D、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查．
故选C．
6．（2012重庆）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
考点：平行线的性质；角平分线的定义。
解答：解：∵EF∥AB，∠CEF=100°，
∴∠ABC=∠CEF=100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×100°=50°．
故选B．
7．（2012重庆）已知关于 的方程 的解是，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
考点：一元一次方程的解。
解答：解；∵方程的解是x=2，
∴2×2+a﹣9=0，
解得a=5．
故选D．
8．（2012重庆）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点：函数的图象。
解答：解：根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段，
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0，
纵观各选项，只有B选项的图象符合．
故选B．
9．（2012重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
A．50 B． C．68 D．72
考点：规律型：图形的变化类。
解答：解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有8个五角星，
第③个图形一共有18个五角星，
…，
则所以第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72；
故选D．
10．（2012重庆）已知二次函数的图象如图所示对称轴为．下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：二次函数图象与系数的关系。
解答：解：A、∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交与负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
B、∵对称轴：x=﹣=﹣，
∴a=b，
故本选项错误；
C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，
故本选项错误；
D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，
∴当x=﹣2时，﹣2b+c＜0，
即+c＜2b，
故本选项正确．
故选D．
二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上，
11．（2012重庆）据报道，2011年重庆主城区私家车拥有量近38000辆．将数380000用科学记数法表示为 ．
考点：科学记数法—表示较大的数。
解答：解：380 000=3.8×105．
故答案为：3.8×105．
12．（2012重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 ．
考点：相似三角形的性质。
解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴三角形的相似比是3：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
故答案为：9：1．
13．（2012重庆）重庆农村医疗保险已经全面实施．某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20，24，27，28，31，34，38，则这组数据的中位数是 ．
考点：中位数。
解答：解：把这一组数据从小到大依次排列为20，24，27，28，31，34，38，
最中间的数字是28，
所以这组数据的中位数是28；
故答案为：28．
14．（2012重庆）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）
考点：扇形面积的计算。
解答：解：由题意得，n=120°，R=3，
故S扇形===3π．
故答案为：3π．
15．（2012重庆）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
考点：概率公式；三角形三边关系。
解答：解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，
共有4种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；
其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况，
所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是；
故答案为：．
16．（2012重庆）甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 张．
考点：应用类问题。
解答：解：设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，
则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张
则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，
从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，
由题意得，a≤15，b≤16，
又最终两人所取牌的总张数恰好相等，
故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a为整数，
则由整除的知识，可得k可为1，2，3，
①当k=1时，b﹣a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
②当k=2时，b﹣a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
③当k=3时，b﹣a=14，此时可以符合题意，
综上可得：要保证a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，
则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，
继而可确定k=3，（a+b）=18，
所以N=﹣3×18+162=108张．
故答案为：108．
三．解答题（共10小题）
17．（2012重庆）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。
解答：解：原式=2+1﹣5+1+9=8．
18．（2012重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
考点：全等三角形的判定与性质。
解答：证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
19．（2012重庆）解方程：．
考点：解分式方程。
解答：解：方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣2）得，
2（x﹣2）=x﹣1，
2x﹣4=x﹣1，
x=3，
经检验，x=3是原方程的解，
所以，原分式方程的解是x=3．
20．（2012重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理。
解答：解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===2，
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．
答：△ABC的周长是6+2．
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
21．（2012重庆）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解。
解答：解：原式=[﹣]•
=•
=•
=，
又，
由①解得：x＞﹣4，
由②解得：x＜﹣2，
∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2，
其整数解为﹣3，
当x=﹣3时，原式==2．
22．（2012重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A．B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2,m)，点B的坐标为（n，－2），tan∠BOC＝。
（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
考点：反比例函数综合题。
解答：解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，﹣2），∴BD=2，
在Rt△OBD在，tan∠BOC=，即=，解得OD=5，
又∵B点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2），
将B（﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10，
∴反比例函数解析式为y=，
将A（2，m）代入y=中，得m=5，∴A（2，5），
将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，
得，解得，
则一次函数解析式为y=x+3；
（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，
∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（﹣6，0）．
23．（2012重庆）高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校近四年保送生人数的极差是 ．请将折线统计图补充完整；
（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．
考点：折线统计图；扇形统计图；极差；列表法与树状图法。
解答：解：（1）因为该校近四年保送生人数的最大值是8，最小值是3，
所以该校近四年保送生人数的极差是：8﹣3=5，
折线统计图如下：
（2）列表如下：
由图表可知，共有12种情况，选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的有6种情况，
所以选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率是=．
24．（2012重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
25．（2012重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）
考点：二次函数的应用。
解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：
y1=，将（1，12000）代入得：
k=1×12000=12000，
故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，
代入得：
，
解得：，
故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；
（2）当1≤x≤6，且x取整数时：
W=y1x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2），
=﹣1000x2+10000x﹣3000，
∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，
∴当x=5时，W最大=22000（元），
当7≤x≤12时，且x取整数时，
W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），
=﹣x2+1900，
∵a=﹣＜0，x=﹣=0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x=7时，W最大=18975.5（元），
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；
（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，
设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，
解得：t=，
∵≈28.4，
∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），
∴a≈57，
答：a的值是57．
26．（2012重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形。
解答：解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2﹣t，
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），
解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），
∴t=﹣3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，
∵ME=2﹣t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，
②当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，
∴FK=2﹣EK=t﹣1，
∵NL=AD=，
∴FL=t﹣，
∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，
∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．
综上所述：
当0≤t≤时，S=t2，
当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；
当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，
当＜t≤4时，S=﹣t+．