湖北省孝感市2013年初中毕业生学业考试
数学试题
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1、计算的值是
A、 B、 C、 D、
2．太阳的半径约为km，把这个数用科学记数法表示为
A、 B． C． D、
3、如图，，．则等于
A、 B、
C、 D、
4、下列计算正确的是
A、 B、
C、 D、（a－b）2=a2－b2
5、为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：
16 9 14 11 12 10 16 8 17 19
则这组数据的中位数和极差分别是
A．13，16 B．14，C．12，11 D．13，11
6、下列说法正确的是
A、平分弦的直径垂直于弦 B、半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C、相等的圆心角所对的弧相等 D、若两个圆有公共点，则这两个圆相交
7、使不等式x－1≥2与3x－7＜8同时成立的x的整数值是
A、3，4 B、4，C、3，4，5 D、不存在
8、式子的值是
A、 B、C、 D、2
9、在平面直角坐标系中，已知点E(－4,2)，F(－2,－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A、(－2,1) B、(－8,4)
C、(－8,4)或(8,－4) D、(－2,1)或(2,－1)
10、由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图
和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图是
A、 B、 C、 D、
11、如图，函数与函数的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为
A、2 B、 C、6 D、8
12、如图，在△中，，．在△内依次作，，．则等于
A、 B、 C、 D、
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果
直接填写在答题卡相应位置上）
13、分解因式： 。
14、在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为 （结果用分数表示）。
15、如图，两建筑物的水平距离BC为，从A点测得D点的
俯角为30°，测得C点的俯角为60°．则建筑物CD
的高度为 m（结果不作近似计算）。
16、用半径为，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面，
则这个圆锥的高是 cm。
17、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：
称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 。
18、一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的
4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水
又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．
假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内
的水量(单位：升)与时间（单位：分）之间的
部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起
分钟该容器内的水恰好放完。
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分．解答写在答题卡上）
19、（本题满分6分）先化简，再求值：，其中，。
20、（本题满分8分）如图，已知△和点。
（1）把△绕点顺时针旋转90°得到△，在网格中画出△；（4分）
（2）用直尺和圆规作△的边，的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点是△的内心，外心，还是重心？（4分）
21、（本题满分10分）暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示。
（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？（4分）
（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定。父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？（6分）
22、（本题满分10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（4分）
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（6分）
23、（本题满分10分）如图，△内接于⊙，60°，是⊙的直径，点是延长线上的一点，且。
（1）求证：是⊙的切线；（5分）
（2）若，求⊙的直径。（5分）
24、（本题满分10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，。
（1）求实数的取值范围；（4分）
（2）是否存在实数使得≥成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。（6分）
25、（本题满分12分）如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，
若90°，且交正方形外角的平分线于点。
（1）图1中若点是边的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）
（2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）。
①是否总成立？请给出证明；（5分）
②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标．（4分）
2013年孝感市高中阶段学校招生考试
数学参考答案及评分说明
一、选择题
二、填空题
13．； 14．； 15．；
16．； 17．； 18．．
三、解答题
19．解：原式= ……………………………………… 2分
=
= ……………………………………… 4分
当，时，
原式=． ……………………………………… 6分
20．解：（1）△如图所示； …………………………………………………4分
（2）如图所示； ……………………………… 6分
点是△的外心．……………… 8分
21．解：（1）设去地的人数为，
则由题意有： …………… 2分
解得：．
∴去地的人数为人． …………… 4分
（2）列表：
…………… 7分
说明： 能正确画出树形图给3分.
姐姐能参加的概率，弟弟能参加的概率为 …………… 9分
∵<，∴不公平． …………… 10分
22．解：（1）设与满足的函数关系式为：． …………… 1分
由题意可得： …………… 2分
解得 …………… 3分
∴与的函数关系式为：． …………… 4分
（2）每天获得的利润为：
…………… 6分
． ……………8分
∴当销售价定为元时，每天获得的利润最大． ……………10分
23．（1）证明：连接 …………………1分
∵，∴． ……2分
又∵，∴.
又∵，∴，
∴， ………………4分
∴，
∴是⊙的切线. ……………… 5分
（2）在Rt△中，
∵，
∴． ………………7分
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴⊙的直径为. ……………10分
24．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴ ≥ ……………1分
∴≥
∴≥， ……………3分
∴≤ ．
∴当≤时，原方程有两个实数根． ……………4分
（2）假设存在实数使得≥成立．
∵，是原方程的两根，
∴． ……………5分
由≥，
得≥． ……………7分
∴≥，整理得：≥，
∴只有当时，上式才能成立． ……………9分
又由（1）知≤，
∴不存在实数使得≥成立． ……………10分
25．解：（1）如图1，取的中点，连接． ……………2分
△与△全等． ……………3分
（2）①若点在线段上滑动时总成立．
证明：如图2，在上截取．…… 4分
∵，∴，
∴△是等腰直角三角形，
∴，
又平分正方形的外角，∴，
∴． ………… 6分
而,
∴， ………… 7分
∴△≌△．
∴． ………… 8分
②过点作轴于， ………… 9分
由①知，，
设，则，
∴点的坐标为． ……… 10分
∵点恰好落在抛物线上，
∴，
∴，（负值不合题意，舍去），
∴．
∴点的坐标为．…………… 12分
注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；
2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．