南京市2013年初中毕业生学业考试
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，
在其他位置答题一律无效。
4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 计算127(4)8(2)的结果是
(A) 24 (B) 20 (C) 6 (D) 36
答案：D
解析：原式＝12＋28－4＝36，选D。
2. 计算a3．( )2的结果是
(A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9
答案：A
解析：原式＝，选A。
3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数； a可以用数轴上的一个点来表示； 3 (A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：由勾股定理，得：，所以，③错误，其它都正确。 4. 如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为，圆O2的半径为，O1O2=。圆O1以/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是 (A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含 答案：D 解析：7s后两圆刚好内切，所以，外切、相交、内切都有，没有内含，选D。 5. 在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y= 的图像没有公共点，则 (A) k1k2<0 (B) k1k2>0 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0 答案：C 解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。 6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂 有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是 答案：B 解析：涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错；D还原不回去，故错，选B。 二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分) 7. 3的相反数是 ；3的倒数是 。 答案：3； 解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置。 8. 计算 的结果是 。 答案： 解析：原式＝ 9. 使式子1 有意义的x的取值范围是 。 答案：x1 解析：当x＝1时，分母为0没有意义，故x1 10. 第二届亚洲青年运动会将于至24日在南京举办，在此期间约有13000 名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为 。 答案：1.3104 解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 13000＝1.3104 11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置， 旋转角为 (0<<90)。若1=110，则= 。 答案：20 解析：，延长交CD于E，则=20，ED=160，由四边形的内角和为360，可得=20 12. 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为， A=120，则EF= cm。 答案： 解析：点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为A职点，AE＝1，EAO=60，EP＝，所以，EF＝ 13. △OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的 一个内角为70，则该正多边形的边数为 。 答案：9 解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：＝9； 若∠BOA＝70°，则边数为：不可能，因此，边数为9。 14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出 方程： 。 答案：本题答案不唯一，如(x1)2=25； 解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为x＋1。 15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交 于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。 答案：3； 解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3， ，即，所以，PE＝，＋1＝ 故P的坐标为（3，）。 16. 计算(1)()(1)()的结果是 。 答案： 解析：设x＝，则原式＝（1－x）（x＋）－（1－x－）x＝ 三、解答题 (本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17. (6分) 化简( ) 。 解析： 解：( ) = ． = ． = 。 18. (6分) 解方程 =1 。 解析：方程两边同乘x2，得2x=x21。解这个方程，得x= 1。 检验：x= 1时，x20，x= 1是原方程的解。 (6分) 19. (8分) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂 足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。 解析： 证明：(1) ∵BD平分ABC，∴ABD=CBD。又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD △CBD。∴ADB=CDB。 (4分) (2) ∵PMAD，PNCD，∴PMD=PND=90。 又∵ADC=90，∴四边形MPND是矩形。 ∵ADB=CDB，PMAD，PNCD，∴PM=PN。 ∴四边形MPND是正方形。 (8分) 20. (8分) (1) 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率： 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球； 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球； (2) 某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是 (A) (B) ()6 (C) 1()6 (D) 1()6 解析： (1) 解： 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只有1种，所以P(A)= 。 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红，红)、(红，黄)、(红，蓝)、(红，白)、 (黄，红)、(黄，黄)、(黄，蓝)、(黄，白)、(蓝，红)、(蓝，黄)、(蓝，蓝)、(蓝， 白)、(白，红)、(白，黄)、(白，蓝)、(白，白)，共有16种，它们出现的可能 性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种， 所以P(B)= 。 (6分) (2) B (8分) 21. (9分) 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机 抽取了150名学生进行抽样调查。整体样本数据，得到下列图表： (1) 理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由： (2) 根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计 图； (3) 该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议。如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议： 。 解析：解：(1) 不合理。因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到 的机会不相等，样本不具有代表性。 (2分) (3) 本题答案不唯一，下列解法供参考。 乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域。 (9分) 22. (8分) 已知不等臂跷跷板AB长。如图，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹 角为；如图，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为。求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH。(用含、的式子表示) 解析：解：在Rt△AHO中，sin= ，∴OA= 。 在Rt△BHO中，sin= ，∴OB= 。 ∵AB=4，∴OAOB=4，即 =4。∴OH= (m)。 (8分) 23. (8分) 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。 注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同。 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400(180%)30=110(元)。 (1) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2) 如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？ 解析：解：(1) 购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元， 顾客获得的优惠额为1000(180%)150=350(元)。 (2分) (2) 设该商品的标价为x元。 当80%x500，即x625时，顾客获得的优惠额不超过625(180%)60=185<226； 当500<80%x600，即625x750时，(180%)x100226。解得x630。 所以630x750。 当600<80%x80080%，即750 顾客获得的优货额大于750(180%)130=280>226。 综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元， 那么该商品的标价至少为630元。 (8分) 24. (8分) 小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。 (1) 小丽驾车的最高速度是 km/h； (2) 当20x30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度； (3) 如果汽车每行驶耗油，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？ 解析：解：(1) 60；(1分) (2) 当20x30时，设y与x之间的函数关系式为y=kxb。 根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。 所以，解得。所以，y与x之间的函数关系式为y= 3.6x132。 当x=22时，y= 3.622132=52.8。 所以，小丽出发第22min时的速度为。(5分) (3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为 6048 =33.5(km)。 所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5=3.35(L) (8分) 25. (8分) 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。 (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。 解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。 如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 ∵AB//CD，∴BAC=ACD。 ∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。 ∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。 ∵CN是圆O的直径，∴CBN=90。 ∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。 ∴PCO=90，即PCOC。 又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分) (2) ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，即OAD=90。 ∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，即OMBC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM===6。 设圆O的半径为r。 在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。 在△OMC和△OCP中， ∵OMC=OCP，MOC=COP， ∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。 ∴PC= 。(8分) 解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图，连接OC。 ∵AD是圆O的切线，∴ADOA， 即OAD=90。 ∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90， 即OMBC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。∴MAB=MAC。 ∴BAC=2MAC。又∵MOC=2MAC，∴MOC=BAC。 ∵AB//CD，∴BAC=ACD。∴MOC=ACD。又∵BCP=ACD， ∴MOC=BCP。∵MOCOCM=90，∴BCPOCM=90。 ∴PCO=90，即PCOC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (2) 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM===6。 设圆O的半径为r。 在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。 在△OMC和△OCP中，∵OMC=OCP，MOC=COP， ∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 = 。 ∴PC= 。(8分) 26. (9分) 已知二次函数y=a(xm)a(xm) (a、m为常数，且a0)。 (1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。 当△ABC的面积等于1时，求a的值： 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。 解析： (1) 证明：y=a(xm)a(xm)=ax2(2ama)xam2am。 因为当a0时，[(2ama)]2(am2am)=a2>0。 所以，方程ax2(2ama)xam2am=0有两个不相等的实数根。 所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分) (2) 解： y=a(xm)a(xm)=(x )2 ， 所以，点C的坐标为(, )。 当y=0时，a(xm)a(xm)=0。解得x1=m，x2=m1。所以AB=1。 当△ABC的面积等于1时，1| |=1。 所以1( )=1，或1=1。 所以a= 8，或a=8。 当x=0时，y=am2am，所以点D的坐标为(0, am2am)。 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时， 1| |= 1| am2am |。 所以1( )= 1(am2am)，或1 = 1(am2am)。 所以m= ，或m= ，或m= 。 (9分) 27. (10分) 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个 三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为 逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同， 因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。 (1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC； △GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号) (2) 如图，在锐角△ABC中，A 合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明 理由。 解析： (1) ； (4分) (2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。 第一种情况：如图，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、 PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时△PQ、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。 第二种情况：如图，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBM=A，BM交AC 于点M。 当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此 时△AP1Q与△ABC互为逆相似； 当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC， CP2Q2=ABC，此时△AP2Q1、△Q2P都与△ABC互为逆相似。 第三种情况：如图，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B， CD、CE分别交AC于点D、E。 当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时 △AQP1与△ABC互为逆相似； 当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB， BP2Q2=BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似； 当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使BP3Q’=BCA， 此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)