山东省济南市市中区2013届九年级4月中考一模
数 学 测 试 题
注意事项：
1．本试题分第I卷和第II卷两部分．第I卷满分45分；第II卷满分75分．本试题共10页，满分120分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷的密封线内．
3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在试卷上无效．
4．考试期间，一律不得使用计算器；考试结束，应将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共15个小题．每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的算术平方根为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.据济南市旅游局统计，2012年春节约有359525人来济旅游， 将这个旅游人数 (保留三个有效数字)用科学计数法表示为 ( )
A．3.59× B．3.60× C．3.5 × D．3.6 ×
3．下列运算正确的是 ( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是 ( )
5.已知为锐角，，则= （ ）
A. B. C. D.
6．下列事件中确定事件是 ( )
Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖
Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有个球
Ｄ．掷一枚六个面分别标有，，，，，的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上
7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放
在直尺的对边上．如果∠1=15°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．55° C．55° D．60°
8.若式子有意义，则x的取值范围为 （ ）
A.x≥2 B.x≠.x≥2或x≠3 D.x≥2且x≠3
9．已知且，则的取值范围为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10.下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
11.二次函数的图像与图像的形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数的顶点坐标是 （ ）
A.() B.() C.() D.()
12.如图2，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，
沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒, ∠APB的度数
为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
（图2 ）
13．如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为、，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A. B.
C . D．
14. 如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为
(2，0)．若△P1O A1与△P2均为等边三角形，则A2点的坐标为（ ）
Ａ．2 Ｂ．2-1 Ｃ．2 Ｄ．2-1
15．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B1,………按这样的规律进行下去，
第2012个正方形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页．用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在考试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．考试期间，一律不得使用计算器．
第II卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上）
16.分解因式：22＋4＋2＝ ．
17．当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，
另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm．
18. 化简的结果是_______________．
19．在一个暗箱里放有 a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红色球只有3个，每次将球摇匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量试验后发现，摸到红球的频率稳定在25％，那么可以推算出a大约是 .
20．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于
21. 将边长为的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是 cm
三、解答题（本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22.（本题满分7分）
(1)(3分)计算：
（2）(4分)解方程： .
23. （本题满分7分）
(1) (3分)一个人由山底爬到山顶，需先爬的山坡，再爬的山坡，求山的高度（结果可保留根号）．
(2) (4分)如图，△ABC与△ABD中， AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.
你添加的条件是: ．
证明:
24.（本题满分8分）
某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘价均价购买一套的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
25．（本题满分8分）
“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票.下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
26. (本题满分9分)
如图，反比例函数(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=.
(1)求k的值；
(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
(3)若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.
27. (本题满分9分)
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
求证：BD⊥CF；
(3)在(2)小题的条件下, AC与BG的交点为M， 当AB=4，AD=时，求线段CM的长．
28．（本题满分9分）
如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
数学答案
一、选择题
1.Ａ 2.B 3.Ｂ 4.Ａ 5. D 6. Ｃ 7. A 8. C
9.Ｄ 10.D 11.B 12.C 13. D 14. Ｃ 15. D
二、填空题
16． 2 17. 18. 19. 12
20. 21.
三、解答题
22.(1)原式 ………………………2分
…………………………………………3分
(2)解：愿方程可化为：x＝3(x－2 ) ...............4分
x＝3 …………………………5分
经检验 ：x＝3 是原方程的解． …………………………6分
所以原方程的解是x＝3 ………………………………7分
23.(1)解；依题意，可得山高…………1分
……………………2分
………………………3分
所以山高为．
(2)解:添加条件例举：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等. ……4分
证明例举（以添加条件AD＝BC为例）：
∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，
∴ △ABC≌△BAD． ……………………6分
∴ AC=BD． ………………………………7分
24．解：(1)设平均每次下调的百分率x，……………..1分
则6000（1－x）2＝4860．……………………………3分
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．……………………5分
(2)方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720元………………………6分
方案②可优惠：100×80＝8000元．…………………….7分
答：平均每次下调的百分率10%，方案①更优惠．………………8分
25．解：（1）补全图1分,
设D地车票有x张，则x＝（x+20+40+30）×10%
解得x＝10.
即D地车票有10张. …………………3分
（2）小胡抽到去A地的概率为＝. ……………5分
（3）以列表法说明
或者画树状图法说明（如右下图） 列表或图6分
由此可知，共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）
∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为＝.
则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为＝…7分
所以这个规则对双方不公平…………………..8分
26. 解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴=，
∴AB=3，∴A点的坐标为（2，3）………………………………1分
∴k=xy=6……………………………………2分
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为，…………………………………3分
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）……………4分
设直线MN的函数表达式为y=k1x+b，则
， 解得 ，∴直线MN的函数表达式为. …5分
（3）结论：AN=ME………………………………………………6分
理由：在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=，
∴点M（6，0），N（0，）……………………………7分
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON－OF=，…………………………8分
∵CM=6－4=2=AF，EC==NF，
∴Rt△ANF≌Rt△MEC，
∴AN=ME………………………………9分
解法二：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON－OF=，
∴根据勾股定理可得AN=…………………………………………8分
∵CM=6－4=2，EC=
∴根据勾股定理可得EM=
∴AN=ME…………………………………………………9分
解法三：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵S△EOM，S△AON………8分
∴S△EOM= S△AON，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME………………………………………9分
27.（9分）解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…3分
（2）证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…6分
(3)过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴AE==2，
∴AN=FN=AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．
∴AM=AB=．
∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==．.......9分
28.（本小题满分9分）
解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）．
∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4，解得a=1，
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3 …………………………3分
（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第三象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m2-3，解得m=（m=>0，舍），
∴P（，）． ………………………6分
（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴，即，∴DQ1=，
∴OQ1=，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴，即，
∴OQ2=，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴，即，
∴OQ32-4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，
即Q3（0，-1），Q4（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．…… 9分