2013年老河口市中考适应性考试
数 学 试 题
本试卷共4页，全卷满分120分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一.选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．
1.的倒数是（ ）
A．3 B．－ C． D．
2.如图1，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=15°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．55° C．55° D．60°
3．下列计算正确的是（ ）
A．·＝ B．a2＋a3＝aC．(a2)3 ＝a5 D．a5÷a3＝a2
4. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
5．下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查
C．数据1，1，2，2，3的众数是3
D．一组数据的波动越大，方差越小
6．如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为矩形的是（ ）
A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC
C．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OAD
7. 央视报道，中国人每年在餐桌上浪费的粮食价值高达2000亿元，2000亿用科学计数法表示为( )
A．2×103 B．2×1010 C．2×1011 D．2×1012
8. 小明到离家900米的中百超市买水果，从家中到超市走了20分钟，在超市购物用了10分钟，然后用15分钟返回家中，下列图形中表示小明离家的时间x（分）与离家的路程y（米）之间的关系的是（ ）
9. 若⊙O1与⊙O2相交，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，则⊙O2的半径r2不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D． 7
10.某住宅小区至6日每天用水量变化情况如图2所示，那么这6天的平均用水量是（ ）
A.30吨 B.31吨 C.32吨 D.33吨
11.如图3，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是（ ）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C.（1，－1） D.（－1，1）
12.一个圆锥，它的主视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
二.填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上．
13.计算：= ．
14.当x满足 时，分式的值为正数．
15.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x(元)之间的关系满足，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 ．
16.如图4，在扇形OAB中，∠AOB=120°，OA=2，以A为圆心，AO长为半径画弧交于点C，则图中阴影部分的面积为_______ _．
17. 如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，BC＝（）AD，以AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC＝ .
三.解答题：本大题共9个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
18.（6分）已知，求代数式的值．
19.（6分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，小记者张明随机调查了某校若干学生和家长对中学生带手机现象的看法，制作了如图6所示的统计图：
（1）这次调查的总人数有 人；
（2）补全两个统计图；
（3）针对随机调查的情况，张明决定从初三一班表示赞成的4位家长中随机选择2位进行深入调查，其中包含小亮和小明的家长，小亮和小明的家长被同时选中的概率是 ．（以上三个问题均不需写过程）
20.（6分）由10块相同的长方形地砖拼成面积为的矩形ABCD（如图7），则矩形ABCD的周长为多少？
21.（6分）如图8，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持10海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一不明国籍的渔船C，求此时渔船C与海监船B的距离是多少．（结果保留根号）
22.（6分）如图9，在直角坐标平面内，反比例函数的图象经过点A（2，3），B（a，b），其中a＞2．过点B作y轴垂线，垂足为C，连结AB、AC、BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求点B的坐标．
23.（7分）如图10，Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）证明：△AC C′∽△AB B′；
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时AC＝BF，并说明理由．
24.（10分）四川省芦山县发生了7.0级强烈地震，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材和B种板材的任务.
⑴如果该厂安排280人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如右表所示：
①共有多少种建房方案可供选择？
②若这个灾民安置点有4700名灾民需要安置，这400间板房能否满足需要？若不能满足请说明理由；若能满足，请说明应选择什么方案．
25．（10分）如图11所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．
（1）求证：AB=DN；
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若PC＝5，CD＝8，求线段MN的长．
26.（12分）如图12，已知直线y=kx＋6与抛物线y=ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
2013年老河口市中考适应性考试数学
参考答案及评分标准
一、选择题
1－5：DADCB 6－10：ACDDC 11－12：CD
二、填空题
13、 14、且 15、1550元 16、 17、75°或165°
三、解答题
18、解：
＝…………………………………………1分
＝………………………………………………………2分
＝……………………………………3分
＝………………………………………………………4分
∵
∴…………………………………………………………5分
∴原式＝………………………………………………6分
19、（1）600；（2）家长反对的有280人，占70%，家长赞成的占10%；（3）（每问2份）
20、解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm………………………1分
根据题意，得4x2＝1.6×…………………………………………3分
解得，x=±0.2…………………………………………………………4分
2×(4x+x+2×4x)＝26 x＝5.2（m）…………………………………5分
答：矩形ABCD的周长为5.2m…………………………………………6分
21、解：由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°………………………1分
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝ 30°…………………………2分
作BD⊥AC于D…………………………………………………………3分
在Rt△ABD中，（海里）……4分
在Rt△BCD中，（海里）……5分
答：此时渔船C与海监船B的距离是海里……………………6分
22、解：（1）由题意得，k＝xy＝2×3＝6
∴反比例函数的解析式为………………………………………2分
（2）作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数的图象经过点B（a，b）
∴
∴AD＝……………………………………………………………3分
∴
解得a=6…………………………………………………………………5分
∴
∴B（6，1）……………………………………………………………6分
23、解：（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的
∴AC＝AC′ AB＝AB′ ∠CA C′＝∠B AB′……………………1分
∴………………………………………………………2分
∴△AC C′∽△AB B′…………………………………………………3分
（2）当β＝2α时AC＝BF……………………………………………4分
证明：∵AC＝AC′
∴∠AC C′＝∠A C′C＝（180°－∠C AC′）＝90°－β＝90°－α
∵∠BCE＝∠ACB－∠A C C′＝90°－（90°－α）＝α…………5分
∴∠BCE＝∠ABC
∴BE＝CE
∵∠ACE＝∠ABF ∠AEC＝∠FEB
∴△AEC≌△FEB……………………………………………………6分
∴AC＝BF……………………………………………………………7分
24、解：（1）设安排x人生产A种板材，则安排（280－x）人生产B种板材
根据题意，得………………………………1分
解得x＝160……………………………………………………………2分
经检验x＝160是原方程的根，240－x＝120
∴安排160人生产A种板材，安排120人生产B种板材……………3分
（2）设建甲型m间，则建乙型（400－m）间
①根据题意，得………………………4分
解得320≤m≤350…………………………………………………………5分
∵m是整数
∴符合条件的m值有31个…………………………………………………6分
∴共有31种建房方案可供选择……………………………………………7分
②这400间板房能满足需要…………………………………………………8分
由题意，得12m＋10（400－m）≥4700
解得m≥350…………………………………………………………………9分
∵320≤m≤350
∴m＝350
∴建甲型350间，建乙型50间能满足需要……………………………10分
25、解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠NCD………………………………………………………1分
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC＋∠A =∠ABC＋∠D =90°
∴∠A =∠D…………………………………………………………………2分
又∵AC=CD，∠ACB=∠NCD
∴△ABC≌△DNC
∴AB=DN…………………………………………………………………3分
（2）CP是⊙O的切线．………………………………………………………4分
证明：连结OC
∵CP是△CDN的边ND上的中线，∠NCD=90°
∴PC=PN=
∴∠PCN =∠PNC…………………………………………………………5分
∵∠ANM=∠PNC
∴∠ANM=∠PCN
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∵∠A＋∠ANM =90°
∴∠ACO＋∠PCN =90°………………………………………………………6分
∴∠PCO =90°
∴CP是⊙O的切线…………………………………………………………7分
（3）∵PC＝5
∴DN=2PC=10
∵△ABC≌△DNC
∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10
∴
∴AN=AC-CN=2
∵sinA=
∴
∴
26、解：（1）把A（1，4）代入y=kx＋6，得k=－2，
∴y=－2x＋6…………………………………………………………1分
由y=－2x＋6＝0，得x＝3
∴B（3，0）．
∵A为顶点
∴设抛物线的解析为y=a(x－1)2＋4，解得a=－1………………………2分
∴y=－(x－1)2＋4=－x2＋2x＋3…………………………………………3分
（2）存在．………………………………………………………………4分
当x＝0时y＝－x2＋2x＋3＝3，∴C（0,3）
∵OB=OC=3，OP=OP，
∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC………………………………5分
作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM=∠PON＝45°．
∴PM=PN
∴设P（m，m），则m=－m2＋＋3，解得m=………………6分
∵点P在第三象限，∴P（，）…………………7分
（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，作AE⊥y轴于E，则E（0,4）
∵∠DA Q1＝∠DOB＝90°，∠AD Q1＝∠BDO
∴△DAQ1∽△DOB，
∴，即，
∴DQ1=，
∴OQ1=，即Q1（0，）；…………………8分
②如图，当∠Q2BA=90°时，∠DBO＋∠OBQ2＝∠OBQ2＋∠O Q2B＝90°
∴∠DBO＝∠O Q2B
∵∠DOB＝∠B O Q2＝90°
∴△BOQ2∽△DOB，
∴，即，
∴OQ2=，即Q2（0，）……………………………………………9分
③如图，当∠AQ3B=90°时，∠AEQ3＝∠BOQ3＝90°，
∴∠AQ3E＋∠E AQ3＝∠AQ3E＋∠B Q3O＝90°
∴∠E AQ3＝∠B Q3O
∴△BOQ3∽△Q3EA………………………………………………………10分
∴，即
∴OQ32－4OQ3＋3=0，∴OQ3=1或3………………………………………11分
即Q3（0，1）或（0，3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）…………12分