通州区初三年级模拟考试
数学试卷
2013年5月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．
1．的倒数是
A． B． C． D．
2．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是
A B C D
3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多.将17800用科学记数法表示应为
A．17.8×103 B．1.78× C．0.178×105 D．1.78×104
4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=32°， 则∠AOC的度数是
A．32° B．64°
C．16° D．58°
5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是
A． B． C． D．
6. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是
A．6 B．4 C．2 D．
7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动. 为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是
A．平均数是2.5 B．中位数是 C．众数是2 D．方差是4
8． 如图，在直角坐标系xoy中，已知，，以线段为边向上作菱形，且点在y轴上.若菱形以每秒2个单位长度的速度沿射线滑行，直至顶点落在轴上时停止．设菱形落在轴下方部分的面积为，则表示与滑行时间的函数关系的图象为
第8题图（1） 第8题图（2）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若分式的值为零，则x= ．
10．分解因式： ．
11．如图，AB∥CD，点E在AB上，且，
，则的度数是______.
12．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使得为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取，则： ……，若，则第2次“F运算”的结果是 ；若，则第2013次“F运算”的结果是 .
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式组
15. 已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且使AE＝AD.求证：∠B＝∠C.
16．化简求值：，其中，且.
17．已知，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿y轴向上平移n个单位长度，交y轴于点C，
若，求n的值.
18. 列方程或列方程组解应用题：
根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长的公路.铺设后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务.问原计划每天修建公路多少米?
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）直接写出频数分布表中a，b 的值，补全频数分布直方图；
（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？
20．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝，△DCE是等边三角形，DE交AB于点F，求△BEF的周长．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO，交AD于点F，若=3AB，求的值．
22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形的边长为2，是的中点，沿将菱形剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．
（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；
（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为、、，周长分别记为、、，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤”或“≥”连接）：
面积关系是 ；
周长关系是 ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知二次函数的图象与x轴分别交于点、，且<<．
（1）求的取值范围；
（2）设二次函数的图象与轴交于点M，若，求二次函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.
24．已知：，，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.
（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB的大小.
25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M,半圆与y轴的正半轴交于点C.
（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；
（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；
（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标.
通州区初三数学模拟考试参考答案及评分标准
2013．5
一、选择题：
1．C 2．C 3．D 4．B
5．A 6．D 7．B 8．A
二、填空题：
9. ； 10. ； 11. ； 12. 1，4；
三、解答题：
13. 解：原式= ， ……………… 4分；
= ，
= . ……………… 5分.
14.
解：解不等式①，得 ， ……………… 1分；
解不等式②，
， ……………… 2分；
， ……………… 3分；
，
， ……………… 4分；
∴这个不等式组的解集是 . ……………… 5分.
15. 证明：在△ABE和△ACD中
∵ ……………… 3分；
∴△ABE≌△ACD（SAS）. ……………… 4分；
∴. ……………… 5分.
16． 解：原式=，
， ……………… 1分；
， ……………… 2分；
=. ……………… 3分；
由，得， ……………… 4分；
∴原式=== . ……………… 5分.
17. 解：(1) 把，分别代入和中，
∴ ……………… 1分；
解得： ……………… 2分；
∴反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 ；
（2）设一次函数的图象与y轴的交点为D,则，
……………… 3分；
∵，
∴， ……………… 4分；
∴，
∴. ……………… 5分.
18. 解法一:
解：设原计划每天修建公路米, 则实际每天修建公路米， …… 1分；
根据题意得：
， ……………… 3分；
∴，
∴.
经检验：x=300是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分；
答： 原计划每天修建公路. ……………… 5分.
解法二：
解：设铺设用天, 则增加人力和设备后，用天完成任务.
……………… 1分；
根据题意得：， ……………… 3分；
解得：.
经检验：是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分；
∴ ，
答：原计划每天修建公路. ……………… 5分.
四、解答题
19. （1），. ……………… 2分；
补全频数分布直方图正确； ……………… 4分；
（2）. ……………… 5分.
估计全校1000名学生中约有370名获奖.
20．
解法一：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴，，
在Rt△中，，，
∴tan，
tan，
∴，
∴，， ……………… 1分；
∴， ……………… 2分；
过点E作，交CB的延长线于点G. ……………… 3分；
在Rt△中，，，，
∴，cos，
cos，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴（舍去负值） ……………… 4分；
∴△BEF的周长=. ……………… 5分.
解法二：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴，，
过点E作交CD于点H，交AB于点G. ……………… 1分；
∴点H是DC的中点，点G是AB的中点，
，，
在Rt△中，，，
∴sin，
sin，
∴，
∴.
在Rt△中，，，
∴sin，
sin，
∴， ……………… 2分；
∴，
∵点G是AB的中点，，
∴，
∴， ……………… 3分；
由勾股定理得，，
∴（舍去负值） ……………… 4分；
∴△BEF的周长=. ……………… 5分.
解法三：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，
∴，，
在Rt△中，，，
∴tan，
tan，
∴，
∴，， ……………… 1分；
∴， ……………… 2分；
过点B作，交CE于点G. ……………… 3分；
在Rt△中，，，，
∴，cos，
cos，
∴，
∴，
由勾股定理得，，或BG是线段EC的垂直平分线，
∴（舍去负值）或BE=BC ， ………… 4分；
∴△BEF的周长=. ……………… 5分.
21． (1)证明：连接OD.
∵，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴， ……………… 1分；
∴∥OD，
∵，
∴，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线； ……………… 2分；
（2）解法一：连接CB,过点O作于点G.…………… 3分；
∵ AB是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴OG∥CB ，
∴，
∵=3AB ，
∴， ……………… 4分；
设，
∵，，
∴四边形EGOD是矩形，
∴，AE∥OD ，
∴，，,
∴△AEF∽△DFO ，
∴ ，
∴ ，
∴. ……………… 5分．
解法二：连接CB,过点A作交DO的延长线于点H. ………… 3分；
∵，，
∴四边形AHDE是矩形，
∴，AE∥HD ，AH∥ED ，
∴，
∵ AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴△AHO∽△BCA，
∴，
∵=3AB ，
∴， ……………… 4分；
设，
∴，,
∵AE∥HD，
∴△AEF∽△DFO ，
∴ ，
∴ ，
∴. ……………… 5分．
解法三：连接CB,分别延长AB、ED交于点G. ………… 3分；
∵，，
∴AE∥OD ，，
∴，
∵ AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴△GDO∽△BCA，
∴，
∵=3AB ，
∴， ……………… 4分；
设，
∴，,
∵AE∥OD，
∴△AEG∽△ODG ，△AEF∽△DFO ，
∴ ， ，
∴ ，
∴. ……………… 5分.
22.(1)
画图正确； 每图各1分，共3分；
(2)面积关系是 == ； ……………… 4分；
周长关系是 >>． ……………… 5分.
五、解答题：
23.
解：(1)令，则
解方程得：或， ……………… 1分；
由题意得：，，
∴ ，
∴. ……………… 2分；
(2)令，则，
∴，
∵，
∴ ， ……………… 3分；
∴ ，
∴. ……………… 4分；
或∵，，
∴，
把点M的坐标分别代入中，
∴， ……………… 3分；
∴ ，
∴. ……………… 4分；
(3)，，. （每个答案各1分） ……………… 7分．
24．
解：（1）过点A作于点G .
∵∠ADB=60°，，
∴，，
∴ ，
∴ tan，
∴，， ……………… 1分；
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ，， ……………… 2分；
由勾股定理得：. …… 3分；
（2）作，且使，连接ED、EB. ………… 4分；
∴△AED是等边三角形，
∴，，
∵ △ABC是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴△EAB≌△DAC. ……………… 5分；
∴EB=DC .
当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，
∴， ……………… 6分；
∴ CD 的最大值为6，此时. ……………… 7分.
另解：作，且使，连接DF、AF.
参照上面解法给分.
25．
解：（1）由题意得：，，，.
∴，
∴，
∴
∵GC是⊙M的切线，
∴
∴cos， ……………… 1分；
∴，
∴，
∴，
∴直线GC的表达式为. ……………… 2分；
（2）设过点D的直线表达式为，
∴
∴，或
，或， ……………… 3分；
∴，
∴ 过点D的“蛋圆”的切线的表达式为. ……………… 4分；
（3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设，则点F的坐标为.
EF与x轴交于点H，连接EM.
∴，
∴，……① ………… 5分；
∵点F在二次函数的图象上，
∴，……②
解由①②组成的方程组得：；.(舍去)
……………… 6分；
由对称性可得：；. ……………… 7分；
∴，，，.
……………… 8分.