昌平区2013年初三年级第二次统一练习
数 学 试 卷 2013．6
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的相反数是
A． B． C． D．
2．中国公安部副部长3月6日表示，中国户籍制度改革的步伐已经明显加快，力度明显加大.2010年至2012
年，中国共办理户口“农转非”2 500多万人. 请将 2 500 用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3. 在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（右图），则它的主视图是
A B C D
如右图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG， ∠1＝80°，
则∠2的度数为
A．80° B．60°
C．50° D．40°
5．在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是
A. 1.40, 1.40 B. 1.45, 1.40 C. 1.425, 1.40 D. 1.40, 1.45
6．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB，AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为
A. 1 B.6
C. 4 D. 2
8．正三角形ABC的边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的
速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，
y＝PC 2，则y关于x的函数的图象大致为
A B C D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．若分式，则x的值为 .
10．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是 ．
11．如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为1，则□ABCD的面积为 ．
12．如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为 ，第n个半圆的面积为 ．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13.计算： ．
14. 解分式方程： ．
15. 已知，求的值．
16. 如图，AC//FE,点F、C在BD上，AC=DF, BC=EF.
求证：AB=DE.
17. 已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．
（1）求与的值；
（2）设一次函数的图象与轴交于点，求的度数．
18. 如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠DAB=∠ABC=90°，BE⊥BD且BE=BD ，连接EA并延长交CD的延长线于点F. 如果∠AFC=90°，求∠DAC的度数.
19. 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.
图1 图2
（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共 件，并把图1补充完整；
（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为 ；
（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生. 现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率.
20. 如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长.
21. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝15，AD＝20，∠C＝30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．
(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；
(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
22. （1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；
（2）【问题拓展】已知a>0，b>0，且a+b=2，写出的最小值；
（3）【问题延伸】已知a>0，b>0，写出以、、为边长的三角形的面积.
五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分）
23. 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.
24．（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2. △ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y≠0）. 当x=时，求出y的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x =2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D到AG的距离；
（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：四边形MHND为正方形.
25. 如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
昌平区2013年初三年级第二次统一练习
数学试卷参考答案及评分标准 2013．6
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13．解：原式= …………………………………………………………… 4分
= -2． ……………………………………………………………………… 5分
14．解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得
4﹣2（3x﹣1）=3. ……………………………………………………………………… 2分
化简，得﹣6x=﹣3. ……………………………………………………………………… 3分
解得 x=． …………………………………………………………………………… 4分
检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠ 0． ………………………………………… 5分
所以，x=是原方程的解．
15．解：
= ………………………………………………………2分
= …………………………………………………… 3分
=． …………………………………………………………………………… 4分
当时，
原式=. …………………………………………………………… 5分
16．证明：∵ AC //EF，
∴ ．…………………………………………………………… 1分
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF．…………………………………… 4分
∴ AB=DE． …………………………………………… 5分
17．解：（1）∵点在双曲线上，
∴. …………………………………………………………………………1分
又∵在直线上，
∴ . ………………………………………………………………………2分
（2）过点A作AM⊥x轴于点M.
∵ 直线与轴交于点，
∴ 点的坐标为.
∴ .…………………………………………3分
∵点的坐标为，
∴.
∴ ………………………………………………………………………………… 4分
在Rt△中，∠°,
∵∠，
∴∠°. ……………………………………………………………………5分
18．解：∵∠DAB = ∠ABC = 90°，
∴∠DAB + ∠ABC = 180°,∠3 + ∠FAD = 90°.
∴ AD∥BC..
∴ ∠ADF = ∠BCF． ………………………………… 1分
∵∠AFC = 90°，
∴ ∠FAD + ∠ADF = 90°.
∴ ∠3 = ∠ADF = ∠BCF. ① …………………… 2分
∵BE⊥BD,
∴ ∠EBD=90°.
∴ ∠1 = ∠2. ② ………………………………………………………………… 3分
∵BE=BD ，③
∴ △ABE≌△CBD. ……………………………………………………………… 4分
∴ AB = BC.
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°.
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 45°. …………………………………………… 5分
四、解答题（共４道小题，每小题各5分，共20分）
19．解：(1) 12. …………………………………………………………………………… 1分
如图所示. ………………………………………………………………… 2分
(2)42. …………………………………………………………………………3分
（3）列表如下: …………………………………………………………………4分
共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，
∴ P（一男生一女生）＝. …………………………………………………5分
即恰好抽中一男生一女生的概率为.
20．解：（1）证明:如图， 连接OA.
∵∠B=600，
∴∠AOC=2∠B=1200. …………… 1分
∵OA=OC,
∴∠ACP=∠CAO=300.
∴∠AOP=600.
又∵AP=AC ，
∴∠P=∠ACP=300.
∴∠OAP=900.
即OA⊥AP. …………………………………………………………………………… 2分
∵ 点O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线. ………………………………………………………………… 3分
(2) 解：连接AD.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=900.
∴AD=AC∙tan300=.…………………………………………………………………4分
∵∠ADC=∠B=600，
∴∠PAD=∠ADC-∠P=300.
∴∠P=∠PAD.
∴PD=AD=.…………………………5分
21．解：(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．
由已知得，AM＝x，AN＝20-x.
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD＝BC，
∴∠D＝∠C＝30°.
∴∠PAN＝∠D＝30°．………………………………………1分
在Rt△APN中，. ………………………2分
即点N到AB的距离为．
(2)根据(1)，．…………………3分
∵，
∴ 当x＝10时，有最大值．…………………………………………………4分
又∵，且为定值，
∴当x＝10时，五边形BCDNM面积最小.此时，ND＝AM＝10，AN＝AD-ND＝10，
∴AM＝AN．
∴当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．……………………………5分
22．解：（1）如图所示. ……………………………………… 1分
（2）. …………………………………………… 2分
（3）． ………………………………………… 5分
五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分）
23．解：（1）由=0，得，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． 2分
（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3）， 3分
分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有
= - -
=（个单位面积）…………………………………4分
（3）如： ．
∵，，
，
又∵3（）=
=． 5分
∴． 6分
24．（1）解：如图1，当x=时，设AC与HE交与点P.
由已知易得∠ABC=∠HEC=90°.
∴tan∠PCE = tan∠ACB.
∴.
∴PE= . …………………………………… 1分
∴ . …………… 2分
（2）如图2，作DK⊥AG于点K.
∵CD=CE=DE=2，
∴△CDE是等边三角形. ………………………… 3分
∴∠CDE=60°.
∴∠ADG=360°- 290°- 60°=120°.
∵AD=DG=1，
∴∠DAG=∠DGA=30°. ………………… 4分
∴DK=DG=.
∴点D到AG的距离为. ……………………………………………………5分
（3）如图3，
∵α=45°，
∴∠NCE=∠NEC=45°.
∴∠CNE=90°.
∴∠DNH=90°.
∵∠D=∠H=90°，
∴四边形MHND是矩形. ………………6分
∵CN=NE，CD＝HE.
∴DN=NH.
∴矩形MHND是正方形. ……………………………………………………… 7分
25．解：（1）圆心的坐标为，半径为1，
， . …………………………………………………………1分
二次函数的图象经过点，
可得方程组 解得： .
二次函数解析式为 2分
（2）如图，过点作轴，垂足为．
是的切线，为切点，
．
在中，，
为锐角，
4分
，
在中，，
．
点坐标为 5分
设切线的函数解析式为，由题意可知，
.
切线的函数解析式为 6分
（3）存在．
①如图，过点作轴于A，与交于点．
可得.
，
. 7分
②过点作，垂足为，过点作，垂足为．
可得.
在中，，
.
在中，，
，
. 9分
综上所述，符合条件的点坐标有，