北京市西城区2013年初三二模试卷
数 学 2013. 6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的倒数是
A． B．3 C． D．
2．下列运算中正确的是
A． B． C． D．
3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是
A．5 B．6 C．7 D．8
4．若，则的值为
A．8 B．6 C．5 D．9
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是
A．中位数是6 B．众数是3 C．平均数是4 D．方差是1.6
7．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG，
EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为
A．
B．
C． 9
D．
8．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是
A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数中，自变量的取值范围是 ．
10．若把代数式化为的形式，其中，为常数，则= ．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，
AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，
则∠FAE的度数为 °．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，
点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB
的内切圆，且P1的坐标为(3,1)．
OA的长为 ，OB的长为 ；
点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为 ．（用含n的式子表示）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，
∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．
求证：AD=BE．
15．已知，求代数式的值．
16．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 当为负整数时，求方程的两个根．
17．列方程（组）解应用题：
水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．
18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
(1) 参加问卷调查的学生共有 人；
(2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 度；
(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为 ．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴交于点A(,0)，
与轴交于点B，且与正比例函数的图象的交点为C(,4) ．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的
等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．
20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
tan∠BDC= ．
(1) 求BD的长；
(2) 求AD的长．
21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，
⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，
过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
(1) 求证：DE⊥AC；
(2) 连结OC交DE于点F，若，求的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，点经过变换得到点，该变换记作，其中为常数．例如，当，且时，．
(1) 当，且时，= ；
(2) 若，则= ，= ；
(3) 设点是直线上的任意一点，点经过变换得到点．若点与点重合，求和的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，
其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且 AC=1．
(1) 若=2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；
(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；
(3) 如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，
BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．
24．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，
直接写出GM的长．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．
(1) 当时，求抛物线的解析式和AB的长；
(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
(3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围．
北京市西城区2013年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准 2013.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式= ……………………………………………… 4分
=． ……………………………………………… 5分
14．证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC. …………………………1分
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，
即∠ACD=∠BCE. …………………2分
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………… 4 分
∴AD=BE . ……………………………………………… 5分
15．解：
…………………………………………… 2分
. …………………………………………………… 3分
∵， 即， ……………………………………………4分
∴原式. ……………………………… 5分
16．解：(1) ∵关于的一元二次方程有实数根，
∴. ….….…..…..…………..……………………1分
∴. …..….….…..…………..……………………2分
(2) ∵为负整数，
∴. .….……..…..…………..…………………… 3分
此时方程为. .…….…..…………………4分
解得x1= 3，x2= 4. .…….…..…………………5分
17．解：设租用4座游船条，租用6座游船条. .….…..…..…………………… 1分
依题意得 ….………..……………………3分
解得 ..…………..……………………4分
答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条. .….….…..…..…………………5分
18．解：(1) 80； ……………………………………………………………………1分
(2) 54； ……………………………………………………………………3分
(3) ． …………………………………………………………………… 5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：(1)∵点C(,4)在直线上，
∴，解得. ……………… 1分
∵点A(,0)与C(3,4)在直线上，
∴ ……………… 2分
解得
∴一次函数的解析式为. ……………………………………… 3分
(2) 点D的坐标为(,)或(,). ……………………………………… 5分
阅卷说明：两个点的坐标各1分.
20．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= ，
∴.
∴CD=. …………………………………… 1分
∴由勾股定理得BD== . ……… 2 分
(2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E .
∵∠BAD=135°，
∴∠EAD=∠ADE=45°.
∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3分
设AE=ED= x ，则AD= x .
∵DE2+BE2=BD2，
∴x2+(x+2)2=()2. ………………………………………………… 4分
解得x1= 3(舍)，x2=1 .
∴AD= x = . ………………………………………………………… 5分
21．(1)证明：连接OD .
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点， .
∴OD∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD∥AC，
∴. …………………………………………………………………… 3分
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB= ∠ADC =90° .
又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵sin∠ABC= =，
故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分
∵DE⊥AC，
∴∠ADC= ∠AED= 90°.
∵∠DAC= ∠EAD，
∴△ADC∽△AED.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴. ………………………………………………………………… 5分
22．解：(1)=； ……………………………………… 1分
(2)=，=； ……………………………………… 3分
(3) ∵点经过变换得到的对应点与点重合，
∴.
∵点在直线上，
∴.
∴ ……………………………………… 4分
即
∵为任意的实数，
∴ 解得
∴，. ……………………………………… 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：(1) AO的长为，△BOD的面积为 1； ………………………… 2分
(2) ∵A，B两点在函数的图象上，
∴点A，B的坐标分别为，. ………………… 3分
∵AO=AB，
由勾股定理得，，
∴.
解得或. …………………………………………… 4分
∵，
∴. ………………… 5分
(3) ∵OC=4，
∴点A的坐标为.
∴.
设点B的坐标为，
∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且，
点M的纵坐标为，点N的横坐标为.
∵点M，N在函数的图象上，
∴点M的坐标为，点N的坐标为.
∴.
∴.
∴.
∴， ………………………… 6分
其中.
∵，而，
∴当时，的最大值为1. …………………………………… 7分
24．解：(1)补全图形见图1， ………1分
EF与HM的数量关系是EF=HM ； ………2分
(2)连接MF（如图2）.
∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，
且∠BAC=120°，
∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC.
∵NG⊥EC，
∴∠MDC =∠NGM =90°.
∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.
∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
∵NA=NC，∠2=60°，
∴△ANC是等边三角形.
∴AN=AC.
在△AFN和△AMC中，
∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3分
∴AF=AM.
∴△AMF是等边三角形.
∴AF=FM，∠7=60°.
∴∠7=∠1.
∴FM∥AE.
∵FH∥CE，
∴四边形FHEM是平行四边形. ……………………………………… 4分
∴EH=FM.
∴AF=EH. …………………………………………… 5分
(3) GM的长为. …………………………………………… 7分
25．解：(1) ∵点A在直线上，且点A的横坐标为0，
∴点A的坐标为.
∴抛物线的解析式为. …………………………… 1分
∵点B在直线上，
∴设点B的坐标为.
∵点B在抛物线:上，
∴.
解得或.
∵点A与点B不重合，
∴点B的坐标为. …………………………… 2分
∴由勾股定理得AB=. …………………… 3分
(2) 点A的坐标为. …………………………… 4分
(3) ①方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为， .
∴OP=OQ=2.
∴∠OPQ =45°.
∵AC⊥轴，
∴AC∥轴.
∴∠EAB =∠OPQ =45°.
∵∠DEA =∠AEB=90°，AB =，
∴EA=EB =1.
∵点A在直线上，且点A的横坐标为，
∴点A的坐标为.
∴点B的坐标为.
∵AC∥轴，
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上，
∴点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵BD⊥AC，
∴点D的横坐标为.
∵点D在直线上，
∴点D的坐标为. …………………………………………… 5分
∵点D在抛物线：上，
∴.
解得或.
∵当时，点C与点D重合，
∴. …………………………………………… 6分
方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）
则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB.
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN.
∵在抛物线随顶点A平移的过程中，
AB的长度不变，∠ABN的大小不变，
∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标
的差以及纵坐标的差都保持不变.
同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.
由(1)知当点A的坐标为时，点B的坐标为，
∴当点A的坐标为时，点B的坐标为.
∵AC∥轴，
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上，
∴点C的坐标为.
令，则点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵点D在直线上，
∴设点D的坐标为.
∵点D在抛物线：上，
∴.
解得或.
∵点C与点D不重合，
∴点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时，点D的坐标为. …… 5分
∵BD⊥AC，
∴.
∴. …………………………………………… 6分
②的取值范围是或. ………………………………… 8分
说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.