二次函数
一、选择题
1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A． abc＜0 B． ﹣3a+c＜0 C． b2﹣4ac≥0
D． 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
考点：二次函数的图象和符号特征．
分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；
D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．
解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
4. （2014•山东枣庄，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：二次函数的图象与性质．
解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】由对称轴为，得，
再由一元二次方程在的范围内有解，得，
即，故选C．
7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣=0；②﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，
其中正确的是（ ）
8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015
考点： 抛物线与x轴的交点．菁优网
分析： 把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．
解答： 解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故选：D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．
9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
考点： 二次函数图象与系数的关系．菁优网
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选B．
点评： 本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．
10.
11. （2014•江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（ ）
12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣2
考点： 抛物线与x轴的交点．菁优网
分析： 分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解答： 解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣（m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数时一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
13. （2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（ ）
14. （2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B． y=x2﹣x+． y=x2+x﹣2 D． y=x2+x+2
考点： 待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网
专题： 计算题．
分析： 将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．
解答： 解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，
∴A（﹣2，4），
将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，
解得：b=﹣1，c=﹣2，
则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．
故选A．
点评： 此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15. （2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
考点： 二次函数的性质．菁优网
专题： 计算题．
分析： 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．
解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x=h＜4．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B． ②④ C． ②⑤ D． ②③⑤
分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，
∴b=﹣＞0，即+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，
∵b=﹣，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
18．（2014•甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）
二、填空题
1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 ．
2. *( 2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为 .
答案：8.
解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.
3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ﹣1 ℃．
考点： 二次函数的应用．菁优网
分析： 首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．
解答： 解：设 y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组
，
解得：，
所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，
当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，
即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．
故答案为：﹣1．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．
3.
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
2. （2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
4. （2014•山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=－x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，－x2+2x+3），根据S四边形ABKC=S△AOC+S梯形ONKC+S△BNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,① ∵对称轴x= =1，∴b=－2a，②，
又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a－2b+c，③
由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y=x+x+4
(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF．
过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G．
设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中O ∴△OBF=OB.FH=×4×（t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,S△OFC=OC.FC=×4×t=2t ∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF +S△OFC=4－t2+2t+8+2t=－t2+4t+12． 令一t2+4t+12 =17，即t2－4t+5=0，则△=(一4)2－4×5=一4<0, ∴方程t2 －4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F． (3)设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠O），又过点B(4,0，), C(0,4) 所以，解得：， 所以直线BC的解析式是y=一x+4． 由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，）， 又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=一3= . 若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ, 设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）． ①当O 由一m2+2m= ，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合,m=－1舍去, ∴m=－3，此时P1 (3,1)． ②当m 由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意， 此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）． 综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 －），P3（2—，2十）. 点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题． 6. （2014•山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由． 考点：二次函数综合题. 分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得． （2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论． （3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果． 解答：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=， ∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣． （2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90° ∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF， ∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=， 设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m=m=1，∴OC=OF=1， 当x=0时y=﹣，∴OD=，∴BF=OD， ∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD∽△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB， ∴点B、C、D在同一直线上， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上． （3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则， 解得k=﹣， ∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣． 解得x=2或x=﹣2， 当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=， ∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===， ∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°， ∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC． 点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握． 7.（2014•江西抚州，第23题，10分） 如图，抛物线()位于轴上方的图象记为1 ，它与轴交于1 、两点，图象2与1关于原点对称， 2与轴的另一个交点为2 ，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4 ；再将3与4 同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6 ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1 ,2 ,…… ，n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. ⑴ 当时， ① 求图象1的顶点坐标； ② 点(2014 , －3) 不在 (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n 的顶点n的横坐标为201，则图象n 对应的解析式为 ，其自变量的取值范围为. ⑵ 设图象m、m+1的顶点分别为m 、m+1 (m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当为何值时，以、m 、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值. 解析：(1)当时， ①，∴F1的顶点是（-1,1)； ②由①知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1， ∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上； 由平移知：F2： F3：，…， ∵Fn的顶点横坐标是201，∴Fn的解析式是：， 此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0), ∴200≤≤202 . (2)如下图，取OQ的中点O′,连接Tm Tm+1 , ∵四边形OTmQTm+1是矩形， ∴Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O′, ∴OTm+1=6, ∵F1： ∴Tm+1的纵坐标为， ∴()2+12 =62 , ∴=± , 已知＜0 ， ∴ . ∴当时，以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4. 8．（2014山东济南，第28题，9分）（本小题满分9分）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D． （1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积； （2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求： ①为何值时为等腰三角形； ②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少． 【解析】（1）设平移后抛物线的解析式， 将点A（8，,0）代入，得.顶点B（4,3）， =OC×CB＝12. （2）直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q， ①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为， 由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）. 当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知, MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得： ＝12（舍去）. 当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立. 故. ②方法一：作PN的中点C，连接CM，则CM＝PC＝PＮ， 当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小， 此时＝3，证明如下： 假设＝3时M记为，C记为 若M不在处，即M在左侧或右侧， 若C在左侧或者C在处，则CM一定大于,而PC却小于，这与CM＝PC矛盾， 故C在右侧，则PC大于,相应PN也会增大， 故若M不在处时 PN大于处的PN的值， 故当＝3时，MQ＝3, ,根据勾股定理可求出PM＝与MN＝,． 故当＝3时，PN取最小值为． 方法二：由所在直线方程为，与直线AB的解析式联立， 得点N的横坐标为，即， 由判别式，得或，又， 所以的最小值为6，此时＝3， 当＝3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为． 9. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）． 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上． 学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条： ①存在函数，其图象经过（1，0）点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数． 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法． 10.(2014年贵州黔东南24．（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 考点： 二次函数综合题．菁优网 分析： （1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． （3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标； 解答： 解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上， ∴， ∵c=6， ∴a=2，b=﹣8， ∴y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． （3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b， 把A（，）代入得： =﹣+b，解得：b=3， ∴直线AC解析式：y=﹣x+3， 点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3， 整理得：2m2﹣7m+3=0， 解得；m=3或m=， ∴P（3，0）或P（，）． 点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识； 11.（2014•遵义27．（14分））如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． （3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标． 12.（2014•十堰10．（3分））已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论： ①a﹣b+c=0； ②b2＞4ac； ③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧； ④抛物线的对称轴为x=﹣． 其中结论正确的个数有（ ） 13.（2014•十堰25．（12分））已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）． （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式； （2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值； （3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由． 14.（2014•娄底26．（10分））如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 15.（2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ （2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′ （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 16.(2014年湖北咸宁23．（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H． 【探究】 （1）填空：当m=0时，OP= 1 ，PH= 1 ；当m=4时，OP= 5 ，PH= 5 ； 【证明】 （2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． 【应用】 （3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值． 考点： 二次函数综合题．菁优网 分析： （1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，﹣1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP﹣（﹣2）． （2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=﹣1的点，一般可设（m，﹣1）．类似（1）利用勾股定理和PH=yP﹣（﹣2）可求出OP与PH，比较即得结论． （3）考虑（2）结论，即函数y=﹣1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6． 解答： （1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5． 如图1，记PH与x轴交点为Q， 当m=0时，P（0，﹣1）．此时OP=1，PH=1． 当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4， ∴OP==5，PH=yP﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5． （2）猜想：OP=PH． 证明：过点P作PQ⊥x轴于Q， ∵P在二次函数y=﹣1上， ∴设P（m，﹣1），则PQ=|﹣1|，OQ=|m|， ∵△OPQ为直角三角形， ∴OP=====， PH=yP﹣（﹣2）=（﹣1）﹣（﹣2）=， ∴OP=PH． （3）解： 如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离． 则有OB=BD，OA=AC， 在△AOB中， ∵OB+OA＞AB， ∴BD+AC＞AB． 当AB过O点时， ∵OB+OA=AB， ∴BD+AC=AB． 综上所述，BD+AC≥AB， ∵AB=6， ∴BD+AC≥6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6． 点评： 本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习． 17. ( 2014年河南) (23. 11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=－x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。 （1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m的值； （3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (－1,0) , B(5,0)两点， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．………3分 （2）点P横坐标为m， 则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－m+3)，F(m,0), ∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5. PE=－m2＋4m＋5－(－m＋3)= －m2＋m＋2……4分 分两种情况讨论： ①当点E在点F上方时，EF=－m＋3. ∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(－m＋3) 即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=（舍去）……………6分 ②当点E在点F下方时，EF=m－3. ∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(m－3)， 即m2－m－17=0，解得m3=，m4=（舍去）， ∴m的值为2或……………………………………………8分 (3),点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3).………11分 【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP; 又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC, 又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形． 过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=. ∵PE=CE,∴－m2＋m＋2=m或－m2＋m＋2=－m， 解得m1=－，m2=4， m3=3－，m4=3+（舍去） 可求得点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3)。 18. （2014•江苏苏州,第29题10分）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． （1）用含m的代数式表示a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 19. （2014•江苏徐州,第26题8分）某种上屏每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图． （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 考点： 二次函数的应用．菁优网 分析： （1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案； （2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案． 解答： 解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16）， ∴， 解得， y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25） 当x=10时，y最大=25， 答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元； （2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10， 可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）， 又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下， ∴当7≤x≤13时，y≥16． 答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 点评： 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集． 20. （2014•江苏盐城,第28题12分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止． （1）求点C的坐标及二次函数的关系式； （2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值； （3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系． （说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．） 21. (2014•年山东东营,第25题12分)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）． （1）求直线BD和抛物线的解析式； （2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标． 考点： 二次函数综合题．菁优网 分析： （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式； （2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，﹣a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论； （3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论． 解答： 解：（1）∵y=2x+2， ∴当x=0时，y=2， ∴B（0，2）． 当y=0时，x=﹣1， ∴A（﹣1，0）． ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4）， ∴ 解得：， ∴y=﹣x2+x+2； 设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2； （2）存在． 如图1，设M（a，﹣a2+a+2）． ∵MN垂直于x轴， ∴MN=﹣a2+a+2，ON=a． ∵y=﹣2x+2， ∴y=0时，x=1， ∴C（1，0）， ∴OC=1． ∵B（0，2）， ∴OB=2． 当△BOC∽△MON时， ∴， ∴， 解得：a1=1，a2=﹣2 M（1，2）或（﹣2，﹣4）； 如图2，当△BOC∽△ONM时， ， ∴， ∴a=或， ∴M（，）或（，）． ∵M在第一象限， ∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）； （3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）． 如图3，∵四边形BOHP是平行四边形， ∴BO=PH=2． ∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b． ∴2=﹣b2+3b ∴b1=1，b2=2． 当b=1时，P（1，2）， 当b=2时，P（2，0） ∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）． 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 22 ．（2014•山东临沂,第26题13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A到直线CD的距离； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标． 23．（2014•四川遂宁，第25题，12分）已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题： （i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM． （ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2014•四川凉山州，第28题，12分）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1． （1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B． ①满足此条件的函数解析式有 无数 个． ②写出向下平移且经点A的解析式 y=﹣x2﹣1 ． （2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积． （3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2014•四川泸州，第25题，12分）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）． （1）求二次函数的最大值； （2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值； （3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标． 26．（2014•四川内江，第28题，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO． （1）求抛物线的解析式； （2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由． 27．（2014•四川南充，第25题，10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD； （3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 分析（1）由x=0时带入y=x﹣1求出y的值求出B的坐标，当x=﹣3时，代入y=x﹣1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式； （2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可． （3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有，可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论． 解：（1）∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）． 当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）． ∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1； （2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1） 如图1①，作BE⊥PC于E， ∴BE=﹣m． CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣﹣m2， ∴PD=1﹣﹣m2﹣1+m=﹣﹣m2， ∴， 解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣； 如图1②，作BE⊥PC于E， ∴BE=﹣m． PD=1﹣﹣m2+1﹣m=2﹣﹣m2， ∴， 解得：m=0（舍去）或m=﹣3， ∴m=﹣，﹣2或﹣3时S四边形OBDC=2S△BPD； （3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a﹣1），则D（a，a﹣1）， ∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣﹣m2， ∴DP=1﹣﹣m2﹣1+m=﹣﹣m2． 在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1， ∴CF=1﹣m．AF=4．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°， ∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，， ∴， 解得：m=1舍去或m=﹣2， ∴P（﹣2，﹣5） 如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E， ∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣﹣m2）=+m2． ∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴， ∴AD=（﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴，∴， ∴m=﹣2或m=﹣3 ∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去， ∴P（﹣2，﹣5）． 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点． 28．（2014•四川宜宾，第24题，12分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△MAB的形状，并说明理由； （3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由． 29.（2014•福建福州,第22题14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D. （1）求点A，B，D的坐标； （2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD. 求证：∠AEO=∠ADC； （3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标. 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）（5， 1）；（3，1）或.. 【解析】 可得，即，联立二方程解得或，从而得到点Q （3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得， 考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组. 30．（12分）（2014•甘肃白银、临夏,第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3． （1）求点M、A、B坐标； （2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值； （3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标． 31．（2014•甘肃兰州,第28题12分） 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 32．（2014•广州,第24题14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标． （2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围． （3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由． 【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法; (2)存在性问题,相似三角形; (3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短 【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: 抛物线解析式为 顶点横坐标,将代入抛物线得 (2)如图,当时,设, 则 过作直线轴, (注意用整体代入法) 解得 , 当在之间时， 或时，为钝角. (3)依题意，且 设移动（向右，向左） 连接 则 又的长度不变 四边形周长最小，只需最小即可 将沿轴向右平移5各单位到处 沿轴对称为 ∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时 ，设过的直线为，代入 ∴ 即 将代入，得：，解得： ∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。 33．（2014•广东梅州,第23题11分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C． （1）直接写出A、D、C三点的坐标； （2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标； （3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．