益阳市2014年普通初中毕业学业考试试卷
数 学
注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为120分；
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
试 题 卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．四个实数，，，中，最大的实数是
A． B． C． D．
2．下列式子化简后的结果为的是
A． B． C． D．
3．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是
A． B． C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
5．一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是
A． B． C． D．
6．正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
7．如图，平行四边形中，是对角线上的两点，如果添加一个条件使≌，则添加的条件不能是
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙的圆心的坐标为，将⊙沿轴正方向平移，使⊙与轴相切，则平移的距离为
A．1 B．1或5 C．3 D．5
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
9．若，则 ．
10．分式方程的解为 ．
11．小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．
12．小明放学后步行回家，他离家的路程米与步行时间分钟的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．
13．如图4，将等边绕顶点顺时针方向旋转，使边与重合得，的中点的对应点为，则的度数是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14．计算：．
15．如图5，∥，平分，．求的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图6），请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
18．“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图7，新大桥的两端位于两点，小张为了测量之间的河宽，在垂直于新大桥的直线型道路上测得如下数据：，,米．求的长（精确到米）．
参考数据：
，，； ，，．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
20．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点，其顶点为．
（1）求，的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点，使是以
为底边的等腰三角形，求点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点、，使以
为顶点的四边形为正方形，求此正方形
的边长．
六、解答题（本题满分12分）
21．如图9，在直角梯形中，∥,⊥,,,，
点沿线段从点向点运动，设．
（1）求的长；
（2）点在运动过程中，是否存在以
为顶点的三角形与以为顶点的三
角形相似？若存在，求出的值；若不存
在，请说明理由；
（3）设与的外接圆的面积分别为
、，若，求的最小值．
益阳市2014年普通初中毕业学业考试试卷
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．3； 10．； 11．2.16； 12．80； 13．．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14.解：原式.…………………………………………………………………６分
15.解：∵∥,
∴.……………………………………………………２分
∵平分,
∴,………………………………………………………４分
∵∥，
∴.……………………………………………………………６分
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16.解：
……………………………………………………………………………６分
当时，原式.…………………………………………………８分
17.解：（1）被调查的学生人数为：人；……………………………２分
（2）如图
……………………５分
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有人.………………８分
18.解：设米，则米.
在Rt中，，∴.…………２分
在Rt中，,∴.……………………４分
∴，∴.………………………………………………………６分
∴.
答：的长约为米. …………………………………………………………８分
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19.解：(1)设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元.依题意得:
解得
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元.……………4分
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台.
依题意得：≤,
解得：.
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元.………7分
（3）依题意有：,
解得:此时，.
所以在（２）的条件下超市不能实现利润元的目标. …………………10分
20. 解：(1)∵直线与轴、轴分别交于点、，
∴，.
又抛物线经过点，，
∴解得
即，的值分别为，.………………………………………………3分
（2）设点的坐标为，对称轴交轴于点，过点作垂直于直线 于点.
在Rt中，，
在Rt中，.
∵，∴，∴.
∴点的坐标为.………………………………………………………6分
（3）当点在对称轴上时，与不垂直.所以应为正方形的对角线.
又对称轴是的中垂线，所以，点与顶点重合，点为点关于轴的对称点，其坐标为.
此时，，且，
∴ 四边形为正方形.
在Rt中，，即正方形的边长为.……10分
六、解答题（本题满分12分）
21.解：(1)过点作于.在Rt中，，.
∴,
∴. ………………………………………………………………2分
(2)存在.若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，
则必有一个角是直角. ……………………………………………………3分
①当时，在Rt中，，，
∴.
又由(1)知，在Rt中 ,，
∴，∴.
∴∽. ………………………………………………………………5分
②当时，在Rt中，，，
∴，，∴.
则且，此时与不相似.
∴存在与相似，此时.………………………………………7分
（3）如图，因为Rt外接圆的直径为斜边，
∴.
①当时，作的垂直平分线交于，交于；作的垂
直平分线交于，交于，连结.则为外接圆的半径.
在Rt中，，，∴,
又，∴.
在Rt中，∴.
在Rt中，，
∴.
②当时，也成立. …………………………10分
∴.
∴当时,取得最小值. ………………………………12分