2014年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）
01．的倒数是【 】
A． B． C． D．
02．下列图案中不是轴对称图形的是【 】
A． B． C． D．
03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了监测指标，“”是指大气中危害健康的直径小于或等于微米的颗粒物。微米即米。用科学记数法表示为【 】
A． B． C． D．
04．若一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为【 】
A． B． C． D．
05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，
继续散步了一段时间，然后回家。如图描述了小明在散步过程中
离家的距离（米）与散步所用的时间（分）之间的函数关系。
根据图象，下列信息错误的是【 】
A．小明看报用时分钟
B．公共阅报栏距小明家米
C．小明离家最远的距离为米
D．小明从出发到回家共用时分钟
06．下列运算结果正确的是【 】
A． B． C． D．
07．不等式组的解集在数轴上表示为【 】
A． B． C． D．
08．下列因式分解中正确的个数为【 】
①； ②； ③。
A．个 B．个 C．个 D．个
09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个
平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 】
A． B． C． D．
10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽米，坝高米，
斜坡的坡度，则坝底的长度为【 】
A．米 B．米 C．米 D．米
11．圆心角为，弧长为的扇形半径为【 】
A． B． C． D．
12．下列命题是真命题的是【 】
A．四条边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。）
13．函数中自变量的取值范围是 。
14．化简： 。
15．如图，在矩形中，，，则的长为 。
16．甲、乙两同学参加学校运动会铅球项目选拔赛，各投掷六次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：，，，，则成绩较稳定的是 乙 。（填“甲”或“乙”）
17．如图，为的直径，为的弦，，则的度数为 。
18．若点和点都在反比例函数的图象上，
则 （填“”、“” 或“”号）
19．分式方程的解为 。
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，
将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长至点，
使得，得到线段；又将线段绕原点
逆时针方向旋转，再将其延长至点，使得，
得到线段；如此下去，得到线段、、、…。
根据以上规律，请直接写出线段的长度为 。
三、解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
21．（本小题满分6分）
先化简，再求值：，其中、。
解：原式；当、时，原式。
22．（本小题满分6分）
为了了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了我市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）。
我市若干天空气质量情况条形统计图 我市若干天空气质量情况扇形统计图
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
⑴请补全条形统计图；
⑵求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数；
⑶请估计我市这一年（天）达到“优”和“良”的总天数。
解：⑴∵扇形统计图中空气质量情况为“优”占的比例为
条形统计图中空气质量情况为“优”的有天
∴被抽取的总天数为（天）
∴条形统计图中空气质量情况为“轻微污染”的有：
（天），如图所示：
⑵扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数为。
⑶我市这一年（天）达到“优”和“良”的总天数（天）
23．（本小题满分6分）
如图，在中，，，于点，于点。
求证：≌。
证：∵，，∴
∵，∴
∵在和中，，∴≌。
24．（本小题满分6分）
已知某校去年年底的绿化面积为平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到平方米，求这两年的年平均增长率。
解：设这两年的年平均增长率为，由题意得，即，
解得：，（不合题意，舍去），∴为所求。
答：这两年的年平均增长率为。
25．（本小题满分8分）
某班组织活动，班委会准备用元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品。已知笔记本元/本，中性笔元/支，且每种奖品至少买一件。
⑴若设购买笔记本本，中性笔支，写出与之间的关系式；
⑵有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
⑶从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率。
解：⑴∵由题意知，∴与之间的关系式为；
⑵∵在中，为偶数，为奇数，∴必为奇数，
∵每种奖品至少买一件，∴，，
∴奇数只能取这七个数
∴共有七种购买方案，如右图所示；
⑶∵买到的中性笔与笔记本数量相等的购买方案只有种（上表所示的方案三），共有种购买方案
∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为。
26．（本小题满分8分）
将一副三角尺如图①摆放（在中，，；在中，，。），点为的中点，交于点，经过点。
图① 图②
⑴求的度数；
⑵如图②，将绕点顺时针方向旋转角，此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由。
解：⑴由题意知：是中斜边上的中线，∴
∵在中，且，∴有等边，∴
∴；
⑵的值不会随着的变化而变化，理由如下：
∵的外角，∴
∵在和中，，
∴∽，∴，又∵由⑴知，∴
∵在中，，∴在等腰中，
∴。
27．（本小题满分10分）
如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，
点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向点移动。
同时，将直线以每秒个单位长度的速度向上平移，交
于点，交于点，设运动时间为秒。
⑴证明：在运动过程中，四边形总是平行四边形；
⑵当取何值时，四边形为菱形？请指出此时以点为圆心、长为半径的圆与直线的位置关系并说明理由。
解：⑴∵直线与轴相交于点，与轴相交于点
∴直线的解析式为，即
∵将直线以每秒个单位长度的速度向上平移秒得到直线
∴，∴，∴直线的解析式为
∵在直线中，点在轴上，∴令，则，∴，
∴在中，
∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向点移动秒
∴，∴，又∵，∴，
∵，，∴在运动过程中，四边形总是平行四边形；
⑵欲使四边形为菱形，只需在中满足条件，即，解得
∴当时，四边形为菱形；
此时以点为圆心、长为半径的圆与直线相切，理由如下：
∵，∴，∴
∵，，∴，，∴在中，
过点作于点，则
∵在和中，且，∴∽
∴，即，∴，∴点到直线的距离等于的半径
∴以点为圆心、长为半径的圆与直线相切。
另解：（在证明与直线相切时，也可利用等积法求得点到直线的距离。）
设点到直线的距离为，则，连结，
∵且、
∴，解得，∴点到直线的距离与的半径相等，即
∴以点为圆心、长为半径的与直线相切。
再解：（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”）
连结，则是菱形的对角线，∴平分
∵，∴是点到直线的距离，
∴点到直线的距离＝点到直线的距离
∴以点为圆心、长为半径的圆与直线相切。
28．（本小题满分10分）
已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点，
与轴相交于点，顶点为点。
⑴求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；
⑵如图①，当时，点为第三象限内抛物线上的一个动点，
设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数
关系式及的最大值；
⑶如图②，当取何值时，以、、三点为顶点的三角形
与相似？
解：⑴∵该二次函数的图象与轴分别相交于点和点，
∴设该二次函数的解析式为
∵该二次函数的图象与轴相交于点，
∴，故
∴该二次函数的解析式为
⑵当时，点的坐标为，该二次函数的解析式为
∵点的坐标为，点的坐标为
∴直线的解析式为，即
过点作轴于点，交于点
∵点为第三象限内抛物线上的一个动点且点的横坐标为
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
∴
∴当时，有最大值；
另解：
∵，∴，∴，∴，
∴（其余略）
再解：
⑶∵，∴点的坐标为
∴
∵是直角三角形，∴欲使以、、三点为顶点的三角形与相似，必有
①若在中，，则，即
化简整理得：，∵，∴（舍去负值）
此时，，，∴
∵且，∴与相似，符合题意；
②若在中，，则，即
化简整理得：，∵，∴（舍去负值）
此时，，，∴
虽然，但是，∴与不相似，应舍去；
∴综上所述，只有当时，以、、三点为顶点的三角形与相似。