2014年长沙市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考
证号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意
的选项.本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是
A．2 B． C． D．
2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是
A．圆锥 B．六棱柱 C．球 D．四棱锥
3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是
A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4
4．平行四边形的对角线一定具有的性质是
A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，
则AD的长为
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是
A．>1 B．≥1 C．>3 D．≥3
8．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是
A．1 B． C．2 D．2
9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与
原图形完全重合的是
10．函数与函数（）在同一平面直角坐标系中的图像可能是
A B C D
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，直线∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=70°，则∠2= 度．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
（第11题图） （第13题图）
13．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度．
14．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则k= ．
15．100件外观相同的产品中有5件不合格．现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品
的概率是 ．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 ．
（第16题图） （第17题图） （第18题图）
17．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(，1)，在轴上存在点P到A，B
两点的距离之和最小，则P点的坐标是 ．
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中=3．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙——我最喜爱的
长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号
A，B，C，D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表
或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
22．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相
交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．
（第22题图）
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行．某施工队计划购
买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造．已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
24．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过
点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
（第24题图）
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点
，，，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A，B，且满足＜＜2，=2，令，试求t的取值范围．
26．如图，抛物线(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为轴，且经过（0,0）和
（）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0,2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与轴相交；
（3）设⊙P与轴相交于M，N （＜）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
（第26题图）
2014年长沙市中考数学试卷参考答案
选择题：
ACBBD BCCAD
填空题：
11. 110° 12.(2,5) 13. 50° 14. 2 15. 16. 18 17. 6 18. (-1,0)
三、解答题：
19. 1 20. ，代入求值得；
21.（1）略，（2）560 （3）
22.（1）略
（2）
23.（1）甲300棵，乙100棵
（2）甲种树苗至少购买240棵；
24.（1）（略）
（2）
设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,
则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即：，化简得：；
解得：，则，故tan∠ACB=；
25.（1）
（2）由得当时，
当且s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；
当且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；
当，方程的解为，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）
（3）由得：则为此方程的两个不等实根，
由=2，又-2＜＜2得：-2＜＜0时，-4＜＜2；0≤＜2时，-2≤＜4；
∵抛物线的对称轴为，故-3＜＜3
由=2, 得： ，故＞；=
=+=，当＞时，t随的增大而增大，当=时，t=,∴＞时， 。
26.（1）
（2）设P(x,y), ⊙P的半径r=，又，则r=，化简得：r=＞，∴点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；
（3）设P()，∵PA=，作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=，故MN=4，∴M(，0)，N(,0)，
又A(0，2)，∴AM=,AN=
当AM=AN时，解得=0，
当AM=MN时, =4，解得：=，则=；
当AN=MN时, =4，解得：= ，则=
综上所述，P的纵坐标为0或或；