2014年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）(2014年陕西省)4的算术平方根是（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ±2 D． 16
考点： 算术平方根．菁优网版权所有
分析： 根据算术平方根的定义进行解答即可．
解答： 解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选B．
点评： 本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）(2014年陕西省)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图；截一个几何体．菁优网版权所有
分析： 根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，得到结果．
解答： 解：左视图从图形的左边向右边看，
看到一个正方形的面，
在面上有一条实线，
故选：A．
点评： 本题考查空间图形的三视图，本题是一个基础题，正确把握三视图观察角度是解题关键．
3．（3分）(2014年陕西省)若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（ ）
A． B． ﹣ C． 1 D． ﹣1
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析： 利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值．
解答： 解：∵点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，
∴m=﹣×（﹣2）=1，
故选：C．
点评： 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
4．（3分）(2014年陕西省)小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．菁优网版权所有
分析： 由一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选A．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）(2014年陕西省)把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
解答： 解：解得，
故选：D．
点评： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）(2014年陕西省)某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表：
人数 3 4 2 1
分数 80 85 90 95
那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ）
A． 85和82.5 B． 85.5和85 C． 85和85 D． 85.5和80
考点： 众数；中位数．菁优网版权所有
分析： 根据众数及平均数的定义，即可得出答案．
解答： 解：这组数据中85出现的次数最多，故众数是85；
平均数=（80×3+085×4+90×2+95×1）=85．
故选B．
点评： 本题考查了众数及平均数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．
7．（3分）(2014年陕西省)如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（ ）
A． 17° B． 62° C． 63° D． 73°
考点： 平行线的性质．菁优网版权所有
分析： 首先根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠C=28°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠AEC=∠A+∠ABC．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=28°，
∵∠A=45°，
∴∠AEC=∠A+∠ABC=28°+45°=73°，
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
8．（3分）(2014年陕西省)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A． 1或4 B． ﹣1或﹣4 C． ﹣1或4 D． 1或﹣4
考点： 一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析： 将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
解答： 解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
故选B．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
9．（3分）(2014年陕西省)如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
A． 4 B． C． D． 5
考点： 菱形的性质．菁优网版权所有
分析： 连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
解答： 解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，
∴BC•AE=24，
AE=，
故选：C．
点评： 此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
10．（3分）(2014年陕西省)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． c＞﹣1 B． b＞0 C． 2a+b≠0 D． 9a+c＞3b
考点： 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
专题： 数形结合．
分析： 由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；由于抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣=1，则2a+b=0；由于当x=﹣3时，y＜0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．
解答： 解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．
∴c＜﹣1；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，
∴b＜0；
∵抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0；
∵当x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＞0，
即9a+c＞3b．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（共2小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）(2014年陕西省)计算：= 9 ．
考点： 负整数指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
解答： 解：原式===9．
故答案为：9．
点评： 本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数．
12．（3分）(2014年陕西省)因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）= （x﹣y）（m+n） ．
考点： 因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
分析： 直接提取公因式（x﹣y），进而得出答案．
解答： 解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．
故答案为：（x﹣y）（m+n）．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分.
13．（3分）(2014年陕西省)一个正五边形的对称轴共有 5 条．
考点： 轴对称的性质．菁优网版权所有
分析： 过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴．
解答： 解：如图，
正五边形的对称轴共有5条．
故答案为：5．
点评： 本题考查了轴对称的性质，熟记正五边形的对称性是解题的关键．
14．(2014年陕西省)用科学计算器计算：+3tan56°≈ 10.02 （结果精确到0.01）
考点： 计算器—三角函数；计算器—数的开方．菁优网版权所有
分析： 先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．
解答： 解：≈5.5678，tan56°≈1.4826，
则+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02
故答案是：10.02．
点评： 本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01．
15．（3分）(2014年陕西省)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为 2﹣ ．
考点： 旋转的性质．菁优网版权所有
分析： 利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．
解答： 解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，
∴∠DEA′=45°，
∴A′D=A′E，
∵在正方形ABCD中，AD=1，
∴AB=A′B=1，
∴BD=，
∴A′D=﹣1，
∴在Rt△DA′E中，
DE==2﹣．
故答案为：2﹣．
点评： 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．
16．（3分）(2014年陕西省)已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且=+，则这个反比例函数的表达式为 y= ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析： 设这个反比例函数的表达式为y=，将P1（x1，y1），P2（x2，y2）代入得x1•y1=x2•y2=k，所以=，=，由=+，得（x2﹣x1）=，
将x2=x1+2代入，求出k=4，得出这个反比例函数的表达式为y=．
解答： 解：设这个反比例函数的表达式为y=，
∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，
∴x1•y1=x2•y2=k，
∴=，=，
∵=+，
∴=+，
∴（x2﹣x1）=，
∵x2=x1+2，
∴×2=，
∴k=4，
∴这个反比例函数的表达式为y=．
故答案为y=．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形．
17．（3分）(2014年陕西省)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 4 ．
考点： 垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
解答： 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
四、解答题（共9小题，计72分）
18．（5分）(2014年陕西省)先化简，再求值：﹣，其中x=﹣．
考点： 分式的化简求值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣
=
=，
当x=﹣时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）(2014年陕西省)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．
考点： 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 根据EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC，则AB=BF．
解答： 证明：∵EF⊥AC，]
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：（1）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，
∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：；
（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，
∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）(2014年陕西省)如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求AC的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： （1）首先连接OD，由BD是⊙O的切线，AC⊥BD，易证得OD∥AC，继而可证得AD平分∠BAC；
（2）由OD∥AC，易证得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC的长．
解答： （1）证明：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AD平分∠BAC；
（2）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∴，
解得：AC=．
点评： 此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（10分）(2014年陕西省)已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
版权所有
分析： （1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；
（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，
∴，解得，
故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，
∴M（﹣1，4）．
（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，
∴MN∥M′N′且MN=M′N′．
∴MN•NN′=16，
∴NN′=4．
i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；
ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．
点评： 本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．
26．（12分）(2014年陕西省)问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题： 压轴题；存在型．
分析： （1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．
（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．
（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．
解答： 解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，
则PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=4，
∴BP=CP=2．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，．
则DA=DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴DC=3，DP′=4．
∴CP′==．
∴BP′=4﹣．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，
则AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA=PD，则BP=2；
若DP=DA，则BP=4﹣；
若AP=AD，则BP=．
（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC．
∵BC=12，
∴EF=6．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．
∵AD⊥BC，AD=6，
∴EF与BC之间的距离为3．
∴OQ=3
∴OQ=OE=3．
∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EQF=90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．
∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，
∴BG=．
∴BQ=GQ+BG=3+．
∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．
（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．
设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，
过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．
则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285﹣135=150．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP•tan30°
=135×
=45．
∴OA=2OP=90．
∴OH＜OA．
∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．
∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，
∴HM=
=
=30．
∵AE=400，OP=45，
∴DH=400﹣45．
若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．
∵400﹣45+30＞340，
∴DM＞CD．
∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．
∵400﹣45﹣30＜340，
∴DM＜CD．
∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，
此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．
点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．