2015中考数学真题分类汇编：08二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2015•绵阳）要使代数式有意义，则x的（ ）
A． 最大值是 B． 最小值是 C． 最大值是 D． 最小值是
2．（2015•黄冈）下列结论正确的是（ ）
A． 3a3b﹣a2b=2
B． 单项式﹣x2的系数是﹣1
C． 使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣1
D． 若分式的值等于0，则a=±1
3．（2015•随州）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
4．（2015•台湾）下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）
A． =34 B． =（﹣5）3
C． =32×55 D． =（﹣3）2×（﹣5）4
5．（2015•荆门）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． 2a﹣3 D． 3﹣2a
6．（2015•烟台）下列等式不一定成立的是（ ）
A． =（b≠0） B． a3•a﹣5=（a≠0）
C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6
7．（2015•扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2015•孝感）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（ ）
A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣
9．（2015•广州）下列计算正确的是（ ）
A． ab•ab=2ab B． （2a）3=2a3
C． 3﹣=3（a≥0） D． •=（a≥0，b≥0）
10．（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B． =2 C． （）﹣1= D． （﹣1）2=2
二．填空题（共10小题）
11．（2015•攀枝花）若y=++2，则xy= ．
12．（2015•日照）若=3﹣x，则x的取值范围是 ．
13．（2015•南京）计算的结果是 ．
14．（2015•邵阳）下列计算中正确的序号是 ．
①2﹣=2；②sin30°=；③|﹣2|=2．
15．（2015•泰州）计算：﹣2等于 ．
16．（2015•包头）计算：（﹣）×= ．
17．（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．
18．（2015•白银）已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= ．
19．（2015•德州）若y=﹣2，则（x+y）y= ．
20．（2015•黔南州）实数a在数轴上的位置如图，化简+a= ．
三．解答题（共8小题）
21．（2015•大连）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
22．（2015•陕西）计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
23．（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
24．（2015•荆门）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
25．（2015•襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
26．（2015•黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =（ + ）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
27．（2015•河北）已知是关于x，y的二元一次方程的解，求（a+1）（a﹣1）+7的值．
28．（2015•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
==；（一）
=（二）
==（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=（四）
（1）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得=（ ）；
②参照（四）式得=（ ）
（2）化简：．
2015中考数学真题分类汇编：08二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2015•绵阳）要使代数式有意义，则x的（ ）
A． 最大值是 B． 最小值是 C． 最大值是 D． 最小值是
考点： 二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
分析： 根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵代数式有意义，
∴2﹣3x≥0，解得x≤．
故选：A．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
2．（2015•黄冈）下列结论正确的是（ ）
A． 3a3b﹣a2b=2
B． 单项式﹣x2的系数是﹣1
C． 使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣1
D． 若分式的值等于0，则a=±1
考点： 二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．菁优网版权所有
分析： 根据合并同类项，可判断A；根据单项式的系数是数字因数，可判断B；根据二次根式的被开方数是非负数，可判断C；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D．
解答： 解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；
B、单项式﹣x2的系数是﹣1，故B正确；
C、式子有意义的x的取值范围是x＞﹣2，故C错误；
D、分式的值等于0，则a=1，故D错误；
故选：B．
点评： 本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
3．（2015•随州）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
分析： 先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵代数式+有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4．（2015•台湾）下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）
A． =34 B． =（﹣5）3
C． =32×55 D． =（﹣3）2×（﹣5）4
考点： 二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
分析： 分别利用二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：A、=34，正确，不合题意；
B、=53，故此选项错误；
C、=32×55，正确，不合题意；
D、=（﹣3）2×（﹣5）4，正确，不合题意；
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2015•荆门）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． 2a﹣3 D． 3﹣2a
考点： 二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
分析： 首先判断出a﹣2＜0，1﹣a＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：∵当1＜a＜2时，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，
∴+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次根式以及绝对值的化简，正确得出各项符号是解题关键．
6．（2015•烟台）下列等式不一定成立的是（ ）
A． =（b≠0） B． a3•a﹣5=（a≠0）
C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6
考点： 二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；因式分解-运用公式法；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析： 分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出即可．
解答： 解：A、=（a≥0，b＞0），故此选项错误，符合题意；
B、a3•a﹣5=（a≠0），正确，不合题意；
C、a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），正确，不合题意；
D、（﹣2a3）2=4a6，正确，不合题意．
故选：A．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
7．（2015•扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．菁优网版权所有
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A
点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．（2015•孝感）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（ ）
A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣
考点： 二次根式的化简求值．菁优网版权所有
分析： 未知数的值已给出，利用代入法即可求出．
解答： 解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：
=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+
=49﹣48+1+
=2+．
故选C．
点评： 此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．
9．（2015•广州）下列计算正确的是（ ）
A． ab•ab=2ab B． （2a）3=2a3
C． 3﹣=3（a≥0） D． •=（a≥0，b≥0）
考点： 二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的乘除法．菁优网版权所有
分析： 分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．
解答： 解：A、ab•ab=a2b2，故此选项错误；
B、（2a）3=8a3，故此选项错误；
C、3﹣=2（a≥0），故此选项错误；
D、•=（a≥0，b≥0），正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
10．（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B． =2 C． （）﹣1= D． （﹣1）2=2
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据负整数整数幂对B进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
解答： 解：与不能合并，所以A选项错误；
B、原式==2，所以B选项正确；
C、原式==，所以C选项正确；
D、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D选项正确．
故选B．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂．
二．填空题（共10小题）
11．（2015•攀枝花）若y=++2，则xy= 9 ．
考点： 二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．
解答： 解：y=有意义，
必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴xy=32=9．
故答案为：9．
点评： 本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．
12．（2015•日照）若=3﹣x，则x的取值范围是 x≤3 ．
考点： 二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
分析： 根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．
解答： 解：∵=3﹣x，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
点评： 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．
13．（2015•南京）计算的结果是 5 ．
考点： 二次根式的乘除法．菁优网版权所有
分析： 直接利用二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：=×=5．
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
14．（2015•邵阳）下列计算中正确的序号是 ③ ．
①2﹣=2；②sin30°=；③|﹣2|=2．
考点： 二次根式的加减法；绝对值；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析： 根据二次根式的加减法、三角函数值、绝对值，即可解答．
解答： 解：①2﹣=，故错误；
②sin30°=，故错误；
③|﹣2|=2，正确．
故答案为：③．
点评： 本题考查了二次根式的加减法、三角函数值、绝对值，解决本题的关键是熟记相关法则．
15．（2015•泰州）计算：﹣2等于 2 ．
考点： 二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析： 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
解答： 解：原式=3﹣
=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
16．（2015•包头）计算：（﹣）×= 8 ．
考点： 二次根式的混合运算．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣=9﹣1=8，
故答案为：8
点评： 此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2015•聊城）计算：（+）2﹣= 5 ．
考点： 二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析： 先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算．
解答： 解：原式=2+2+3﹣2
=5．
故答案为：5．
点评： 本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．
18．（2015•白银）已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= ﹣1或﹣7 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可．
解答： 解：由题意得x2﹣9=0，
解得x=±3，
∴y=4，
∴x﹣y=﹣1或﹣7．
故答案为﹣1或﹣7．
点评： 考查二次根式有意义的相关计算；得到x可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0．
19．（2015•德州）若y=﹣2，则（x+y）y= ．
考点： 二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x﹣4≥0且4﹣x≥0，
解得x≥4且x≤4，
∴x=4，
y=﹣2，
∴x+y）y=（4﹣2）﹣2=．
故答案为：．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
20．（2015•黔南州）实数a在数轴上的位置如图，化简+a= 1 ．
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有
分析： 根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加法，可得答案．
解答： 解：+a=1﹣a+a=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了实数的性质与化简，=a（a≥0）是解题关键．
三．解答题（共8小题）
21．（2015•大连）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．
解答： 解：原式=3﹣1+2﹣1
=1+2．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
22．（2015•陕西）计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．
解答： 解：原式=﹣+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
23．（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．http:/ /
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
考点： 二次根式的应用．菁优网版权所有
专题： 阅读型；规律型．
分析： 分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
解答： 解：第1个数，当n=1时，
[﹣]
=（﹣）
=×
=1．
第2个数，当n=2时，
[﹣]
=[（）2﹣（）2]
=×（+）（﹣）
=×1×
=1．
点评： 此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
24．（2015•荆门）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
考点： 二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；
（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．
解答： 解：（1）原式=﹣4××1
=2﹣
=；
（2）原式=[﹣]•
=（﹣）•
=•
=，
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．
25．（2015•襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
考点： 二次根式的化简求值；因式分解的应用．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
解答： 解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，
xy=（1﹣）（1+）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
=7+4．
点评： 本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
26．（2015•黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2 ，b= 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
考点： 二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析： （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
解答： 解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
点评： 本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
27．（2015•河北）已知是关于x，y的二元一次方程的解，求（a+1）（a﹣1）+7的值．
考点： 二次根式的混合运算；二元一次方程的解．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据已知是关于x，y的二元一次方程的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的运算性质求出．
解答： 解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴2=+a，
a=，
∴（a+1）（a﹣1）+7=a2﹣1+7=3﹣1+7=9．
点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解，根据题意得出a的值是解决问题的关键．
28．（2015•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
==；（一）
=（二）
==（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=（四）
（1）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得=（ ）；
②参照（四）式得=（ ）
（2）化简：．
考点： 分母有理化．菁优网版权所有
专题： 压轴题；阅读型．
分析： （1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
解答： 解：（1）=，
=；
（2）原式=
+…+
=++…+
=．
点评： 学会分母有理化的两种方法．