2015中考数学真题分类汇编：圆（3）
一．选择题（共10小题）
1．（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A． 240πcm2 B． 480πcm2 C． 1200πcm2 D． 2400πcm2
2．（2015•黄石）在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（ ）
A． 4 B． 16 C． 4 D． 8
3．（2015•潜江）已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A． 24cm B． 48cm C． 96cm D． 192cm
4．（2015•营口）将弧长为2πcm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是（ ）
A． cm，3πcm2 B． 2cm，3πcm2 C． 2cm，6πcm2 D． cm，6πcm2
5．（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A． 5cm B． 10cm C． 20cm D． 5πcm
6．（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 18cm
7．（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）
A． 1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm
8．（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A． 288° B． 144° C． 216° D． 120°
9．（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ）
（1）AB+CD=AD；
（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；
（3）AB•CD=；
（4）∠ABE=∠DCE．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
10．（2015•乐山）如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A． 8 B． 12 C． D．
二．填空题（共20小题）
11．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 度．
12．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
13．（2015•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 度．
14．（2015•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
15．（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为 ．
16．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
17．（2015•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．
18．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= ．
19．（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为 ．
20．（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 ．
21．（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为 ．
22．（2015•六盘水）赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R= 米．
23．（2015•黔南州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是 ．
24．（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于 m．
25．（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 m．
26．（2015•丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是 度．
27．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B= ．
28．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= °．
29．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．
30．（2015•六盘水）如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB= °．
2015中考数学真题分类汇编：圆（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A． 240πcm2 B． 480πcm2 C． 1200πcm2 D． 2400πcm2
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
解答： 解：这张扇形纸板的面积=×2π×10×24=240π（cm2）．
故选A．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2．（2015•黄石）在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（ ）
A． 4 B． 16 C． 4 D． 8
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
解答： 解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=，
解得r=4．
故小圆锥的底面半径为4；
故选A．
点评： 本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
3．（2015•潜江）已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A． 24cm B． 48cm C． 96cm D． 192cm
考点： 圆锥的计算．
分析： 利用底面周长=展开图的弧长可得．
解答： 解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得=π×80，
解得r=48．
故这个扇形铁皮的半径为48cm，
故选B．
点评： 本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
4．（2015•营口）将弧长为2πcm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是（ ）
A． cm，3πcm2 B． 2cm，3πcm2 C． 2cm，6πcm2 D． cm，6πcm2
考点： 圆锥的计算．
分析： 已知弧长为2πcm，圆心角为120°的扇形为4 cm，就可以求出扇形的半径，即圆锥的母线长，根据扇形的面积公式可求这个圆锥的侧面积，根据勾股定理可求出圆锥的高．
解答： 解：（2π×180）÷120π=3（cm），
2π÷π÷2=1（cm），
=2（cm），
=3π（cm2）．
故这个圆锥的高是2cm，侧面积是3πcm2．
故选：B．
点评： 考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A． 5cm B． 10cm C． 20cm D． 5πcm
考点： 圆锥的计算．
分析： 由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
解答： 解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R=30，由Rl=300π得l=20π；
由2πr=l得r=10cm；
故选B．
点评： 本题考查的知识点是圆锥的体积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．
6．（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 18cm
考点： 圆锥的计算．
分析： 利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答： 解：圆锥的弧长为：=24π，
∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，
故选C．
点评： 考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；
7．（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）
A． 1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 设扇形的半径为R，根据扇形面积公式得=4π，解得R=4；设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•4=4π，然后解方程即可．
解答： 解：设扇形的半径为R，根据题意得=4π，解得R=4，
设圆锥的底面圆的半径为r，则•2π•r•4=4π，解得r=1，
即所围成的圆锥的底面半径为1cm．
故选A．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A． 288° B． 144° C． 216° D． 120°
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据底面圆的半径与母线长的比设出二者，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算即可．
解答： 解：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，
∴设底面圆的半径为4x，
则母线长是5x，
设圆心角为n°，
则2π×4x=，
解得：n=288，
故选A．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ）
（1）AB+CD=AD；
（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；
（3）AB•CD=；
（4）∠ABE=∠DCE．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 圆的综合题．
分析： 设DC和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．
解答： 解：设DC和半圆⊙O相切的切点为F，
∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB为直径，
∴AB，CD是圆的切线，
∵AD与以AB为直径的⊙O相切，
∴AB=AF，CD=DF，
∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；
如图1，连接OE，
∵AE=DE，BO=CO，
∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD），
∴OE⊥BC，
∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△ABE+S△DCE，
故②正确；
如图2，连接AO，OD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AB，CD，AD是⊙O的切线，
∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DOC，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∴AB•CD=OB•OC=BCBC=BC2，故③正确，
如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠BEO=∠CEO，
∵AB∥OE∥CD，
∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，
∴∠ABE=∠DCE，故④正确，
综上可知正确的个数有4个，
故选D．
点评： 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．
10．（2015•乐山）如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A． 8 B． 12 C． D．
考点： 圆的综合题．
分析： 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
解答： 解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
∴点C（0，1）到直线3x﹣4y﹣3=0的距离是=，
∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，
∴△PAB面积的最大值是×5×=，
故选：C．
点评： 本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
二．填空题（共20小题）
11．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 60 度．
考点： 垂径定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．
解答： 解：∵A（0，1），B（0，﹣1），
∴AB=2，OA=1，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，cos∠BAC==，
∴∠BAC=60°，
故答案为60．
点评： 本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．
12．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．
解答： 解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x﹣1，
根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，
即22+（x﹣1）2=x2，
解得：x=；
故答案为：．
点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．（2015•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 30 度．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
分析： 根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．
解答： 解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，
∴OE=OC，
∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，
∴∠ABC=30°．
故答案为：30．
点评： 本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出∠OCE=30°，∠EOC=60°．然后再圆周角定理，从而求出∠ABC=30°．
14．（2015•牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= 4﹣ ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
解答： 解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE==，
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
故答案为4﹣．
点评： 本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
15．（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为 ．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析： 连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．
解答： 解：
连接OB，
∵OC=OB，∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=2，
∴BE=AB=，∠OEB=90°，
∴OB==，
即⊙O的半径为，
故答案为：．
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．
16．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 4 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解答： 解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴OD==4．
故答案为4．
点评： 题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
17．（2015•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 4 cm．
考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
解答： 解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=4cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=CE=4cm，
故答案为：4
点评： 此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
18．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= 4 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AE的长度，然后运用射影定理求出AD的长度，即可解决问题．
解答： 解：如图，连接BD；
∵直径AD⊥BC，
∴BE=CE=BC=6；
由勾股定理得：
AE==6；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°；
由射影定理得：
，
∴AD==8，
∴OC=AD=4，
故答案为4．
点评： 该题主要考查了垂径定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是牢固掌握垂径定理、射影定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
19．（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为 ．
考点： 垂径定理；解直角三角形．
分析： 如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．
解答： 解：如图，连接AM；
∵AB=8，AC=3CB，
∴BC=AB=2：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°；
由射影定理得：
BM2=AB•CB，
∴BM=4，cos∠MBA==，
故答案为．
点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．
20．（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 8，或 ．
考点： 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： ①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
解答： 解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴，
∴，
∴，即PB=，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴，
∴CP=，
∴BC=CP﹣BP==；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴，
∴，解得t=，
在Rt△BCG中，BC=t=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，
故答案为：8，，．
点评： 本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
21．（2015•莱芜）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为 ．
考点： 垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．
分析： 由OC=r，点C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．
解答： 解：∵OC=r，点C在上，CD⊥OA，
∴DC==，
∴S△OCD=OD•，
∴S△OCD2=OD2•（r2﹣OD2）=﹣OD4+r2OD2=﹣（OD2﹣）2+
∴当OD2=，即OD=r时△OCD的面积最大，
∴∠OCD=45°，
∴∠COA=45°，
∴的长为：=πr，
故答案为：．
点评： 本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°是解答此题的关键．
22．（2015•六盘水）赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R= 25 米．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 根据垂径定理和勾股定理求解即可．
解答： 解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．
设圆的半径是r，根据勾股定理，
得R2=202+（R﹣10）2，
解得R=25（米）．
故答案为25．
点评： 此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
23．（2015•黔南州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是 50cm ．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．
分析： 根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．
解答： 解：如图，连接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD=AB=30cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．
故答案为：50cm．
点评： 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
24．（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
解答： 解：如图：
∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，
∴AE=0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴AF=0.8﹣0.2=0.6m，
∴CF=m，
∴CD=1.6m．
故答案为：1.6．
点评： 本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
25．（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 0.8 m．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度．
解答： 解：如图，过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D、E，连OA，
OA=0.5m，AB=0.8m，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=0.4m，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴OC=0.3m，
则CE=0.3+0.5=0.8m，
故答案为：0.8．
点评： 本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用．
26．（2015•丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是 20 度．
考点： 圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据旋转的性质得=，则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC=∠AOB=20°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得到的度数．
解答： 解：∵将旋转n°得到，
∴=，
∴∠DOC=∠AOB=20°，
∴的度数为20度．
故答案为20．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了旋转的性质．
27．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B= 40° ．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 直接根据圆周角定理求解．
解答： 解：∵∠AOC=80°，
∴∠B=∠AOC=40°．
故答案为40°．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
28．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= 100 °．
考点： 圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．
解答： 解：∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣130°=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
故答案为100．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
29．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 110° ．
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．
解答： 解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为110°．
点评： 本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．
30．（2015•六盘水）如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB= 40 °．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 直接根据圆周角定理求解．
解答： 解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故答案为40．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．