常州市2015年中考数学试题
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．－3的绝对值是
A．3 B．－3 C． D．－
2．要使分式有意义，则x的取值范围是
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2
3．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是
A． B． C． D．
4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
6．已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
7．已知二次函数y＝＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是
A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1
8．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是
A．cm2 B．8cm2 C．cm2 D．16cm2
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．计算＝_________．
10．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．
11．分解因式：＝____________________________．
12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是______．
14．已知x＝2是关于x的方程＋x的解，则a的值是______________．
15．二次函数y＝－＋2x－3图像的顶点坐标是____________．
16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_______________．
17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4＝2＋2； 12＝5＋7；
6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；
8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11；
10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；
…
通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．
18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是_______________．
三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2．
20．（8分）解方程和不等式组：
⑴； ⑵
21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？
⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
⑴求甲第一个出场的概率；
⑵求甲比乙先出场的概率．
23．（8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
⑴求证：AE＝AF；
⑵求∠EAF的度数．
24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
⑴求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．
⑴若AD＝2，求AB；
⑵若AB＋CD＝2＋2，求AB．
26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
⑴阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵ AE为直径 ∴ ∠AHE＝90° ∴ ∠HAE＋∠HEA＝90°．
∵ DH⊥AE ∴ ∠ADH＝∠EDH＝90°
∴ ∠HAD＋∠AHD＝90°
∴ ∠AHD＝∠HED ∴ △ADH∽_____________．
∴ ，即＝AD×DE．
又∵ DE＝DC ∴ ＝____________，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．x§k§b 1
⑵操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
⑶解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
⑷拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、，求的值．
28．（10分）如图，反比例函数y＝的图像与一次函数y＝x的图像交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．
⑴若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．