2015年杭州市各类高中招生文化考试
数学——解析版
仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1.统计显示，2013年底杭州各类高中在校学生人数是11.4万人，将11.4万人用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【考点】科学记数法.
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，
∵11.4万=114 000一共6位，∴11.4万=114 000=1.14×105.
故选C.
2. 下列计算正确的是( )
A. 23+24=27 B. 23−24= C. 23×24=27 D. 23÷24=21[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【答案】C.
【考点】有理数的计算.
【分析】根据有理数的运算法则逐一计算作出判断：
A. ，选项错误；
B. ，选项错误；
C. ，选项正确；
D. ，选项错误.
故选C.
3. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，
A、∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形；
B、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
C、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
D、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形．
故选A．
4. 下列各式的变形中，正确的是( )
A. (−x−y)(−x+y)=x2−y2 B.
C. x2−4x+3=(x−2)2+1 D. x÷(x2+x)=+1
【答案】A．
【考点】代数式的变形.
【分析】根据代数式的运算法则逐一计算作出判断：
A. ，选项正确；
B. ，选项错误；
C. ，选项错误；
D. ，选项错误.
故选A．
5. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
【答案】D．
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，
∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°.
故选D．
6. 若k< A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D． 【考点】估计无理数的大小. 【分析】∵， ∴k=9. 故选D． 7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程( ) A. 54−x=20%×108 B. 54−x=20%×(108+x) C. 54+x=20%×162 D. 108−x=20%(54+x) 【答案】B. 【考点】由实际问题列方程. 【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为公顷，林地面积为公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即. 故选B. 8. 如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C. 【考点】折线统计图；中位数. 【分析】根据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断： ①18日的PM2.5浓度最低，原说法正确； ②这六天中PM2.5浓度按从小到大排列为：25，66，67，92，144，158，中位数是第3，4个数的平均数，为µg/cm2，原说法错误； ③这六天中有4天空气质量为“优良”，原说法正确； ④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，原说法正确. ∴正确的说法是①③④. 故选C. 9. 如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【考点】概率；正六边形的性质. 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此， 如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长度为：AC、AE、BD、BF、CE、DF，∴所求概率为. 故选B. 10. 设二次函数y1=a(x−x1)(x−x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点，则( ) A. a(x1−x2)=d B. a(x2−x1)=d C. a(x1−x2)2=d D. a(x1+x2)2=d 【答案】B. 【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵一次函数的图象经过点， ∴.∴. ∴. 又∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，函数的图象与轴仅有一个交点， ∴函数是二次函数，且它的顶点在轴上，即. ∴.. 令，得，即. 故选B. 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。 11. 数据1，2，3，5，5的众数是___________，平均数是_______________ 【答案】5；3.2. 【考点】众数；平均数 【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中5出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5. 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的平均数是. 12. 分解因式：m3n−4mn=____________________________ 【答案】. 【考点】提公因式法和应用公式法因式分解. 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：. 13.函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=_______________；当1 【答案】；增大. 【考点】二次函数的性质. 【分析】函数，当y=0时，即，解得. ∵， ∴二次函数开口上，对称轴是，在对称轴右侧y随x的增大而增大. ∴当时，y随x的增大而增大. 14.如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为_________________________度(用关于α的代数式表示) 【答案】. 【考点】平角定义；平行的性质. 【分析】∵度，∴度. ∵CD平分∠ECB，∴度. ∵FG∥CD，∴度. 15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=____________________________ 【答案】或 【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用. 【分析】∵点P(1，t)在反比例函数的图象上，∴.∴P(1，2). ∴OP=. ∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP， ∴Q或Q. ∵反比例函数的图象经过点Q， ∴当Q时，；Q时， 16.如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________ 【答案】或. 【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用. 【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°. 如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形： 如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H， 易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°. 设BN=DN=，则NH=. 根据题意，得，∴BN=DN=2， NH=1. 易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1. ∴在中，CN=. ∴CD=. 如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H， 易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH =30°. 设BC=CE =，则BH=. 根据题意，得，∴BC=CE =2， BH=1. 在中，CH=，∴EH=. 易证，∴，即. ∴. 综上所述，CD=或. 三．全面答一答。（本题有7个小题，共66分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。 17.（本小题满分6分） 杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图 （1）试求出m的值 （2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数 【答案】解：（1）. （2）∵， ∴其中混杂着的玻璃类垃圾约为1.8吨. 【考点】扇形统计图；用样本估计总体. 【分析】（1）由扇形统计图中的数据，根据频率之和等于1计算即可. （2）根据用样本估计总体的观点，用计算即可. 18.（本小题满分8分） 如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN 【答案】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，∴. 又∵AB=AC，∴. ∵AD平分∠BAC，∴. 又∵AD=AD，∴. ∴DM=DN. 【考点】全等三角形的判定和性质. 【分析】要证DM=DN只要即可，两三角形已有一条公共边，由AD平分∠BAC，可得，只要再有一角对应相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC证得. 19.（本小题满分8分） 如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长. 【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8， ∴，即. ∴.∴点B的反演点B′与点B重合. 如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形. ∵，∴B′M⊥OM. ∴在中，由勾股定理得. 【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得A′B′的长. 20.（本小题满分10分） 设函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)](k是常数) （1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象 （2）根据图象，写出你发现的一条结论 （3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值 【答案】解：（1）作图如图： （2）函数 (k是常数)的图象都经过点（1，0）.（答案不唯一） （3）∵， ∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为. ∴当时，函数y3的最小值为. 【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质. 【分析】（1）当时，函数为，据此作图. （2）答案不唯一，如： 函数 (k是常数)的图象都经过点； 函数 (k是常数)的图象总与轴交于（1，0）； 当k取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称； 等等. （3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移后的表达式，根据二次函数的性质求出最值. 21.（本小题满分10分） “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 （1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形 （2）用直尺和圆规作出三边满足a 【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）. （2）由（1）可知，只有（2，3，4），即时满足a 如答图的即为满足条件的三角形. 【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图. 【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形. （2）首先判断满足条件的三角形只有一个：，再作图： ①作射线AB，且取AB=4； ②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C； ③连接AC、BC. 则即为满足条件的三角形. 22.（本小题满分12分） 如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E （1）若，AE=2，求EC的长 （2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由 【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC. ∴. ∵，AE=2，∴，解得. （2）①若，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下： ∵，∴. 又∵，∴. ∴. ∴. 又∵，∴. ∴. ∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线. ②若，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下： ∵， 又∵DE⊥AC，∴. ∴. ∴. ∴CP2⊥FG2. ∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线. ③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线. 【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用. 【分析】（1）证明DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可. （2）分，和CD为∠ACB的平分线三种情况讨论即可. 23.（本小题满分12分） 方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题： （1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； （2）当20 （3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象； （4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇. 【答案】解：（1）设线段BC所在直线的函数表达式为， ∵，∴，解得. ∴线段BC所在直线的函数表达式为. 设线段CD所在直线的函数表达式为， ∵，∴，解得. ∴线段BC所在直线的函数表达式为. （2）∵线段OA所在直线的函数表达式为，∴点A的纵坐标为20. 当时，即或， 解得或. ∴当时， t的取值范围为或. （3），.所画图形如答图： （4）当0时，， ∴丙距M地的路程与时间的函数关系式为. 联立，解得与图象交点的横坐标为， ∴丙出发后与甲相遇. 【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用. 【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC，CD所在直线的函数表达式. （2）求出点A的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可. （3）求函数表达式画图即可. （4）求出与时间的函数关系式，与联立求解.