益阳市2015年普通初中毕业学业考试试卷
数 学
注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分；
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
试 题 卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列实数中，是无理数的为
A． B． C．0 D．
2．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
3．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75
C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8
4．一个几何体的三视图如图1所示，则这个几何体是
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体
5．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是
A． B．
C． D．
6．下列等式成立的是
A． B．
C． D．
7．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为
A．20(1+2x) =80 B．2×20(1+x) =80
C．20(1+x2) =80 D．20(1+x)2 =80
8．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上）
9．计算： ．
10．已知y是x的反比例函数，当x > 0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．
11．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．
12．如图3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为 ．
13．图4是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
14．化简：．
15．如图5，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，，求的度数.
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16．如图6，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平
移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点
P2恰好在直线l上．
（1）写出点P2的坐标；
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个
单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．
17．2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，图7表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？
（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；
（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数.
18．如图8，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=14，，求线段OE的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
19．大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？
20．已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP 角得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2． （1）如图9-1，当时，求的度数； （2）如图9-2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：∽； （3）如图9-3，过BP的中点E作l1⊥BP ，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ． 六、解答题（本题满分15分） 21．已知抛物线E1：经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点． （1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式； （2）如图10-1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图10-2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点，求与的面积之比． 益阳市2015年普通初中毕业学业考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 9．4；10．(不唯一)；11．；12．；13．． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）． 14．解：原式= 6分 =. 8分 15．解：∵AB∥CD， ∴，. 4分 ∵， ∴， 6分 ∴， ∴． 8分 四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 16．解：（1）P2(3，3)． 3分 （2）设直线l所表示的一次函数的表达式为， ∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上， ∴，解得. ∴直线l所表示的一次函数的表达式为. 7分 （3）点P3在直线l上． 由题意知点P3的坐标为(6，9)，∴，∴点P3在直线l上． 10分 17．解:（1）(亿元)； 3分 （2）第二产业的增加值为(亿元)，画图如下： 7分 （3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为． 10分 18．解：（1）∵，∴， ∴□ABCD是菱形． ∴． 3分 （2）在Rt△AOB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，，， ∴， 9分 ∴． 10分 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 19．解：（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨， 根据题意得：. 3分 解得． 答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨． 6分 （2）设再生产x天后必须补充原材料， 依题意得：， 9分 解得：. 答: 最多再生产10天后必须补充原材料． 12分 20．解：（1）由旋转的性质得：AP = AP1，BP = BP2． ∵， ∴均为等腰直角三角形, ∴， ∴. 3分 （2）由旋转的性质可知均为顶角为的等腰三角形， ∴， ∴. 5分 在和中，， 又， ∴∽． 7分 （3）如图，连接QB. ∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线， ∴，. 又BP=BP2， ∴． 在Rt△QBE和Rt△QBF中， ，， ∴Rt△QBE≌Rt△QBF， ∴． 9分 由中垂线性质得:， ∴． 由（2）知, ∴, 即 P1P⊥PQ． 12分 六、解答题（本题满分15分） 21．解：（1）∵抛物线E1经过点A(1，m)， ∴m=12=1． ∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为()， 又点B(2，2)在抛物线E2上，∴，解得:， ∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为． 3分 （2）假设在第一象限内 ，抛物线E1上存在点Q，使得△为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q． ①当点B为直角顶点时，过B作交抛物线E1于Q， 则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4 ， ∴点Q的坐标为(2，4)． 5分 ②当点Q为直角顶点时，则有，过点Q作于G， 设点Q的坐标为(t，t2)( )， 则有， 整理得：, ∵, ∴，解得，(舍去)， ∴点Q的坐标为(，3)， 综合①②，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)． 9分 （3）过点P作PC⊥x轴,垂足为点C，PC交直线于点E，过点作D⊥x轴,垂足为点D，D交直线于点F， 依题意可设P(c，c2)、(d，) (c >0，)， ∵，∴ ，∴d=2c． 12分 又=2，=4， ∴． 15分 21题解图1 21题解图2