2015年浙江省金华市中考数学试卷解析
（本试卷满分120分，考试时间120分钟，本次考试采用开卷形式，不得使用计算器）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. （2015年浙江金华3分） 计算结果正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点】幂的乘方
【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则计算作出判断：
.
故选B.
2. （2015年浙江金华3分）要使分式有意义，则的取值应满足【 】
A. B. C. D.
【答案】D.
【考点】分式有意义的条件.
【分析】根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.故选D.
3. （2015年浙江金华3分） 点P（4，3）所在的象限是【 】
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A.
【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征.
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.故点P（4，3）位于第一象限. 故选A.
4. （2015年浙江金华3分） 已知，则的补角的度数是【 】
A. 55° B. 65° C. 145° D. 165°
【答案】C.
【考点】补角的计算.
【分析】根据“当两个角的度数和为180 °时，这两个角互为补角”的定义计算即可：
∵，∴的补角的度数是.
故选C.
5. （2015年浙江金华3分）一元二次方程的两根为， ，则的值是【 】
A. 4 B. . 3 D. 3
【答案】D.
【考点】一元二次方程根与系数的关系.
【分析】∵一元二次方程的两根为， ，
∴.
故选D.
6. （2015年浙江金华3分） 如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数的点最接近的是【 】
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B.
【考点】实数和数轴；估计无理数的大小；作差法的应用.
【分析】∵，∴在.
又∵，∴.
∴，即与无理数最接近的整数是.
∴在数轴上示数的点最接近的是点B.
故选B.
7. （2015年浙江金华3分）如图的四个转盘中，C，D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是【 】
A. B. C. D.
【答案】A.
【考点】概率.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
∵四个转盘中，A、B、C、D的面积分别为转盘的，
∴A、B、C、D四个转盘指针落在阴影区域内的概率分别为.
∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是A.
故选A.
8. （2015年浙江金华3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥轴. 若OA=，则桥面离水面的高度AC为【 】
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B.
【考点】二次函数的应用（实际应用）；求函数值.
【分析】如图，∵OA=10，∴点A的横坐标为，
∴当时，.∴AC=米.
故选B.
9. （2015年浙江金华3分）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是【 】
A. 如图1，展开后，测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C.
【考点】折叠问题；平行的判定；对顶角的性质；全等三角形的判定和性质.
【分析】根据平行的判定逐一分析作出判断：
A. 如图1，由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
B. 如图2，由∠1=∠2和∠3=∠4，根据平角定义可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
C. 如图3，由∠1=∠2不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补，故不一定能判定纸带两条边线，互相平行；
D. 如图4，由OA=OB，OC=OD，得到，从而得到，进而根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行.
故选C.
10. （2015年浙江金华3分）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是【 】
A. B. C. D. 2
【答案】C.
【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.
【分析】如答图，连接，与交于点.
则根据对称性质，经过圆心，
∴垂直 平分，.
不妨设正方形ABCD的边长为2，则.
∵是⊙O的直径，∴.
在中，，
.
在中，∵，∴.
易知是等腰直角三角形，∴.
又∵是等边三角形，∴.
∴.
故选C.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. （2015年浙江金华4分） 数的相反数是 ▲
【答案】3.
【考点】相反数.
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此－3的相反数是3.
12. （2015年浙江金华4分）数据6，5，7，7，9的众数是 ▲
【答案】7
【考点】众数.
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中7出现两次，出现的次数最多，故这组数据的众数为7.
13. （2015年浙江金华4分）已知，，则代数式的值是 ▲
【答案】15.
【考点】求代数式的值；因式分解的应用；整体思想的应用.
【分析】∵，，
∴.
14. （2015年浙江金华4分）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点A作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F. 若BC=2，则EF的长是 ▲
【答案】5.
【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质.
【分析】∵直线是一组等距离的平行线，∴，即.
又∵∥，∴. ∴.
∵BC=2，∴.
15. （2015年浙江金华4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 ▲
【答案】.
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质；中点坐标；方程思想的应用.
【分析】∵菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，点D的坐标为（6，8），
∴.∴点B的坐标为（10，0），点C的坐标为（16，8）.
∵菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为（8，4）.
∵反比例函数的图象经过点A，∴.
∴反比例函数为.
设直线的解析式为，∴.
∴直线的解析式为.
联立.
∴点F的坐标是.
16. （2015年浙江金华4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD=90°.图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD变形为四边形，最后折叠形成一条线段.
（1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲
（2）若AB：BC=1：4，则tan∠CAD的值是 ▲
【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）.
【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.
【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ΔACD变形为不稳定四边形，最后折叠形成一条线段，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性.
（2）∵AB：BC=1：4，∴设，则.
由旋转的性质知，
∴.
在中，根据勾股定理得，
∴.
∴.
三、解答题（本题有8小题，共66分，个小题都必须写出解答过程）
17. （2015年浙江金华6分）计算：
【答案】解：原式=.
【考点】实数的运算；二次根式化简；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；绝对值.
【分析】针对二次根式化简，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
18. （2015年浙江金华6分）解不等式组
【答案】解：
由①可得，即，
由②可得，，，，
∴不等式组的解是.
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.
19. （2015年浙江金华6分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F.
（1）若点B的坐标是，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；
（2）当点F落在轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标.
【答案】解：（1）如答图，△AEF就是所求作的三角形； 点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是.
（2）答案不唯一，如B.
【考点】开放型；网格问题；图形的设计（面动旋转）；点的坐标.
【分析】（1）将线段AO、AB绕点A逆时针旋转90°得到AE、AF，连接EF，则△AEF就是所求作的三角形，从而根据图形得到点E，F的坐标.
（2）由于旋转后，点E的坐标是(3，3)，所以当点F落在轴上方时，只要即即可，从而符合条件的点B的坐标可以是等，答案不唯一.
20. （2015年浙江金华8分）小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图. 请根据图中信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的总人数是多少？
（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）如果骑自行车的平均速度为，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过的人数所占的百分比.
【答案】解：（1）被调查总人数为19÷38％=50（人）.
（2）表示A组的扇形圆心角的度数为.
∵C组的人数为（人），∴补全条形统计图如答图：
（3）设骑车时间为t分，则，解得t≤30，
∴被调查的50人中，骑公共自行车的路程不超过的人数为50－4＝46（人），
∴在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过的人数所占的百分比为46÷50＝92％.
【考点】条形统计图和扇形统计图；频数、频率和总量的关系；用样本估计总体.
【分析】（1）由B组的频数确19、频率38％，根据频数、频率和总量的关系即可求得被调查总人数.
（2）求出A组的频率，即可求得表示A组的扇形圆心角的度数；求得C组的人数即可补全条形统计图.
（3）求出被调查的50人中骑车路程不超过的人数所占的百分比即可用样本估计总体.
21. （2015年浙江金华8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长.
【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AF ，∴∠AED=90°.
又∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°.
∴∠DAE=∠AFB，∠AED=∠B=90°.
又∵AF=AD，∴△ADE≌△FAB（AAS）.
∴DE=AB.
（2）∵BF=FC=1，∴AD=BC=BF+FC=2.
又∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1.
∴在Rt△ADE中，AE=AD. ∴∠ADE=30°.
又∵DE=，
∴.
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含30度角直角坐标三角形的性质；勾股定理；弧长的计算.
【分析】（1）通过应用AAS证明△ADE≌△FAB即可证明DE=AB.
（2）求出∠ADE和DE的长即可求得的长.
22. （2015年浙江金华410分）小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为的电动汽车，早上7:00从宾馆出发，游玩后中午12:00回到宾馆现. 小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10:00小聪到达宾馆. 图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系. 试结合图中信息回答：
（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？
（2）试求线段AB，GH的交叉点B的坐标，并说明它的实际意义；
（3）如果小聪到达宾馆后，立即以的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
【答案】解：（1）小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20=2.5(h)
∵小聪上午10:00到达宾馆，∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5=7.5.
∴小聪早上7：30分从飞瀑出发.
（2）设直线GH的函数表达式为s=kt+b,
∵点G（，50），点H (3, 0 )，∴，解得.
∴直线GH的函数表达式为s=－20t+60.
又∵点B 的纵坐标为30，∴当s=30时，－20t+60=30, 解得t=.
∴点B（，30）.
点B的实际意义是：上午8:30小慧与小聪在离宾馆 (即景点草甸) 处第一次相遇.
（3）设直线DF的函数表达式为,该直线过点D和 F(5，0)，
∵小慧从飞瀑回到宾馆所用时间（h），
∴所以小慧从飞瀑准备返回时t=，即D（，50).
，解得.
∴直线DF的函数表达式为s=－30t+150.
∵小聪上午10:00到达宾馆后立即以的速度返回飞瀑，
∴所需时间（h）.
如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象.
∴点M的横坐标为3+=，点M（，50）.
设直线HM的函数表达式为,该直线过点H(3，0) 和点M（，50），
∴，解得.
∴直线HM的函数表达式为s=30t－90，
由解得，对应时刻7+4=11，
∴小聪返回途中上午11:00遇见小慧.
【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与议程伯关系.
【分析】（1）求出小聪从飞瀑到宾馆所用的时间即可求得小聪上午从飞瀑出发的时间.
（2）应用待定系数法求出直线GH的函数表达式即可由点B的纵坐标求出横坐标而得点B的坐标；点B的实际意义是：上午8:30小慧与小聪在离宾馆 (即景点草甸) 处第一次相遇.
（3）求出直线DF和小聪返回时s关于t的函数（HM），二者联立即可求解.
23. （2015年浙江金华10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与相切，圆心M到边的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
【答案】解：（1）①如答图1，连结，线段就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示，
由题意可得：
在Rt△A'C'C2中， A'HC2= (dm)；
在Rt△A'B'C1中， A'GC1=(dm)
∵＞，∴路线A'GC1更近.
（2）如答图，连接MQ，
∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点，
∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100，
当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3,
此时MP=30+20=50，
∴PQ= (dm).
当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如答图4,
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt△PMN中，.
∴在Rt△PQM中，PQ= (dm).
综上所述， 长度的取值范围是.
【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理.
【分析】（1）①根据两点之间线段最短的性质作答.
②根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.
（2）当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值；当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值.求出这两种情况时的PQ长即可得出结论.
24. （2015年浙江金华12分）如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于点B，C两点（点C在轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与轴的交点为H.
（1）求，的值；
（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA=BC.
又∵△ABC的面积=BC×OA=4，即=4，∴OA=2.
∴A ，B ，C .
∴，解得.
∴.
（2）△OEF是等腰三角形. 理由如下：如答图1，
∵A ，B ，
∴直线AB的函数表达式为，
又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，
∴设顶点F的坐标为（m，m+2）.
∴平移后的抛物线函数表达式为.
∵抛物线过点C ，
∴，解得.
∴平移后的抛物线函数表达式为，即..
当y=0时，，解得.
∴E（10，0），OE=10.
又F（6，8），OH=6，FH=8.
∴，，
∴OE=OF，即△OEF为等腰三角形.
（3）存在. 点Q的位置分两种情形：
情形一：点Q在射线HF上，
当点P在轴上方时，如答图2.
∵△PQE≌△POE，∴ QE=OE=10.
在Rt△QHE中，,
∴Q.
当点P在轴下方时，如答图3，有PQ=OE=10,
过P点作于点K，则有PK=6.
在Rt△PQK中，,
∵，∴.
∵，∴.
又∵，∴.
∴， 即，解得.
∴Q.
情形二：点Q在射线AF上，
当PQ=OE=10时，如答图4，有QE=PO,
∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10.
当时，， ∴Q.
当QE=OE=10时，如答图5.
过Q作轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N，
设Q的坐标为，∴.
在中，有,
即，解得.
当时，如答图5，，∴Q.
当时，如答图6，，∴ .
综上所述，存在点Q或或或或，使以P,Q,E三点为顶点的三角形与△POE全等.
【考点】二次函数综合题；线动平移和全等三角形存在性问题；等腰直角三角形的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.
【分析】（1）由△ABC为等腰直角三角形求得点A、B、C的坐标，应用待定系数法即可求得，的值.
（2）求得平移后的抛物线解析式，从而求得点E、F的坐标，应用勾股定理分别求出OE、OF、EF的长，从而得出结论.
（3）分点Q在射线HF上和点Q在射线AF上两种情况讨论即可.