二次函数
一、选择题
1. （2016·湖北鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：
①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－
其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
【考点】二次函数图象与系数的关系，数形结合思想．
【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，则可对①进行判断；②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，则可对②进行判断；③
【解答】①解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴①正确；
②当x=3时，y=ax2+bx+c=+3b+c＞0，
∴②9a+3b+c＜0错误；
③∵C（0，c），OA=OC，
∴A（﹣c，0），
由图知，A在1的左边 ∴﹣c＜1 ，即c＞－1
∴③正确；
④把－代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，得
ac﹣b+1=0，
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，
即ac﹣b+1=0，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－.
综上，正确的答案为：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
1. (2016·四川资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）
A．m=n B．m=n C．m=n2D．m=n2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣=0，即b2=．
又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），
∴点A、B关于直线x=﹣对称，
∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），
将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，
∵b2=，
∴m=n2，
故选D．
2. (2016·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象．
【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．
由图象，得﹣＞0．
由不等式的性质，得b＞0．
a＜0，y=图象位于二四象限，
b＞0，y=bx图象位于一三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键．
3. （2016·四川成都·3分）二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3）
C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断．
【解答】解：A、a=2，则抛物线y=2x2﹣3的开口向上，所以A选项错误；
B、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当y=0时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．
故选D．
4. （2016·四川达州·3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②+2b+c＞0
③﹣b2＜
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在原点左侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
5. （2016·四川广安·3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：
①b2﹣＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，
其中，正确的个数有（ ）
A．1 B．C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．
【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵图象与y轴交于x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，
故④正确．
故选：B．
6. （2016·四川凉山州·4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可知：
开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．
∵反比例函数中k=﹣a＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限内；
∵一次函数y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，
∴一次函数图象经过第二、三、四象限．
故选C．
7．（2016·山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①＜b2；②a+c＞b；③+b＞0．
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣＞0，
∴＜b2，故①正确，
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②错误，
∴对称轴x＞1，a＜0，
∴﹣＞1，
∴﹣b＜，
∴+b＞0，故③正确．
8．(2016福州，11,3分)已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】坐标确定位置；函数的图象．
【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），
∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；
∵B（1，m），C（2，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．
故选C．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9.（2016·广东广州）对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A、当x>0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与x轴有两个交点
［难易］ 中等
［考点］ 二次函数的性质
［解析］ 二次函数,所以二次函数的开口向下，当时，取得最大值，最大值为－3,所以B正确。
［参考答案］ B
10. （2016年浙江省宁波市）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．
【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11. （2016年浙江省衢州市）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣C．直线x=﹣1 D．直线x=0
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选：B．
故选B．
12．（2016•呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．．﹣3 D．0
【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．
【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．
【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，
∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，
∴m+n=，mn=2，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=2﹣4﹣+2=4（a﹣）2﹣3，
∵a≥2，
∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，
故选A．
13．（2016·山西）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）
A． B． C． D．
考点：抛物线的平移
分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移
解答：将抛物线化为顶点式为：，左平移3个单位，再向上平移5个单位
得到抛物线的表达式为
故选D．
14．（2016·上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+．y=x2+1 D．y=x2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．
15．（2016·四川巴中）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；
③﹣b=0；
④＜0，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据抛物线y轴交点情况可判断；②根据点离对称轴的远近可判断；③根根据抛物线对称轴可判断；④根据抛物线与x轴交点个数以及不等式的性质可判断．
【解答】解：由抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，故①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴点B（﹣，y1）距离对称轴较近，
∵抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故②错误；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，即﹣b=0，故③正确；
由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣＞0即﹣b2＜0，
∵a＜0，
∴＞0，故④错误；
综上，正确的结论是：①③，
故选：B．
16．（2016山东省聊城市，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=的图象在二四象限，
故选C．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题．
17．（2016•辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．
【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．
又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．
A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；
D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．
18．（2016.山东省泰安市，3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C． D．
【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＜0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．
【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．
19．（2016.山东省威海市，3分）已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：
图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；
抛物线的对称轴a＞0．
∵反比例函数y=中ab＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限；
∵一次函数y=ax+b，a＞0，b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限．
故选B．
20．（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．
二、填空题
1．（2016·黑龙江大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 （0，4） ．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．
【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴kx+b=，
化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，
∴=，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．
2．（2016·湖北十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是 ② （只填写序号）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】①正确．画出函数图象即可判断．
②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+=a+3b﹣﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以周长判断．
③正确．利用函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，根据函数的最值问题即可解决．
④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，则x1•1==﹣，求出x1即可解决问题．
【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，
∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
∵a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
∴a+3b+=a+3b﹣﹣2b=b﹣a，
又∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b﹣a＜c，
∵c＞O，
∴b﹣a可以是正数，
∴a+3b+≤0，故②错误．
故答案为②．
∵函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，
∵＞0，
∴函数y′有最小值﹣，
∴x2+x≥﹣，故③正确．
∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，
∵x1•1==﹣，
∴x1=﹣，
∵﹣2＜x1＜x2，
∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，故④正确，
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
3.（2016·广东梅州）如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_________．
答案：；（写对一个给2分）
考点：二次函数的图象，等腰三角形的性质，一元二次方程。
解析：依题意，得C（0,3），因为三角形PCD是等腰三角形，所以，点P在线段CD的垂直平分线上，
线段CD的垂直平分线为：y＝2，解方程组：，即：，
解得：，所以，点P的坐标为
4. （2016年浙江省台州市）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= 1.6 ．
【考点】二次函数的应用．
【分析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，根据题意列出方程即可解决问题．
【解答】解：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，
由题意a（t﹣1.1）2+h=a（t﹣1﹣1.1）2+h，
解得t=1.6．
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
故答案为1.6．
5．（2016·江苏泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 （1﹣，﹣3） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＜0．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＜0，
∴x=1﹣，
∴C（1﹣，﹣3）．
故答案为：（1﹣，﹣3）
6．（2016.山东省泰安市，3分）将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 y=2（x+2）2﹣2 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣2．
故答案为：y=2（x+2）2﹣2．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
7．（2016•江苏省扬州）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 0＜a≤5 ．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
y=﹣4t2+t+1400﹣
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴≥﹣4×302+×30+1400﹣
解得，a≤5，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a≤5．
8．（2016•浙江省舟山）把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 y=（x﹣2）2+3 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（2，3），所以平移后抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+3．
故答案为y=（x﹣2）2+3．
9．(2016大连，16，3分)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．
【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，
设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得
=，
解得x=﹣2，
即A点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．
三、解答题
1．（2016·黑龙江大庆）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
（2）设A（a，﹣a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．
【解答】解：（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C1：与C2顶点相同，
∴=1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3．
（2）如图1所示：
设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵AQ=﹣a2++3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2++3+a=﹣a2++3=﹣（a﹣）2+．
∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．
∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，，
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．
∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．
整理得：a2﹣7a﹣10=0．
解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2），
当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．
2. （2016·湖北鄂州）（本题满分10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）。
⑴（2分）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。
⑵（4分）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
⑶（4分）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人。
问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
【考点】二次函数的应用，不等式组的应用.
【分析】（1）通过总房间50个可直接写出房间数量y与x的函数关系式；
（2）设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（3）因当日所获利润不低于5000元，由（2）知－10 (x－20) ²＋9000≧5000；由②可知：20 (－x＋50) ≦600；由③每个房间刚好住满2人可知：y个房间住满2y人，即2y=2 (－x＋50)，即可得出结果.
【解答】解：⑴y=－x＋50 （2分）
⑵设该宾馆房间的定价为（120+10x-20）元（x为整数），那么宾馆内有（50-x）个房间被旅客居住，依题意，得
W=(－x＋50)（120+10x-20）
W=(－x＋50) (10x＋100) （2分）
= －10(x－20) ²＋9000 （3分）
所以当x＝20，即每间房价定价为10×20＋120=320元时，每天利润最大，最大利润为9000元 （4分）
⑶ 由 －10 (x－20) ²＋9000≧5000
20 (－x＋50) ≦600
得20 ≦ x ≦ 40) （2分）
当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少有:
2y=2 (－x＋50)=2 (－40＋50)=20 (人) （4分）
【点评】本题考查了二次函数的应用，，不等式组的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型；注意配方法的求二次函数最值的应用.
3. （2016·湖北黄冈）（满分10分）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为
t+30（1≤t≤24，t为整数），
P=
-t+48（25≤t≤48，t为整数），且其日销售量y(kg)与时间t（天）的关系如下表：
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围。
【考点】一次函数的应用、二次函数的图像及性质、一元一次不等式的应用.
【分析】（1）根据日销售量y(kg)与时间t（天）的关系表，设y=kt+b，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将t=30代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量.
（2）日销售利润=日销售量×（销售单价－成本）；分1≤t≤24和25≤t≤48两种情况，按照题目中所给出的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式分别得出销售利润的关系式，再运用二次函数的图像及性质即可得出结果.
（3）根据题意列出日销售利润W=(t+30-20-n)(120-2t)= －t2+2(n+5)t+1200-n，此二次函数的对称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大，2n+10≥24，即可得出n的取值范围.
【解答】解：（1）依题意，设y=kt+b，
将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，
100=10k+b
80=20k+b
解得 k= -2
b=120
∴日销售量y(kg)与时间t（天）的关系 y=120-2t，………2分
当t=30时，y=120-60=60.
答：在第30天的日销售量为60千克. …………….………..3分
（2）设日销售利润为W元，则W=(p-20)y.
当1≤t≤24时，W=(t+30-20)(120-t)=－t2+10t+1200
=－(t-10)2+1250
当t=10时，W最大=1250. ……………………………….….….5分
当25≤t≤48时，W=(－t+48-20)(120-2t)=t2-116t+5760
=(t-58)2-4
由二次函数的图像及性质知：
当t=25时，W最大=1085. …………………………...………….6分
∵1250＞1085，
∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元. ………7分
（3）依题意，得
W=(t+30-20-n)(120-2t)= －t2+2(n+5)t+1200-n ………………8分
其对称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大
由二次函数的图像及性质知：
2n+10≥24，
解得n≥7. ……………………………………………………..9分
又∵n＜0,
∴7≤n＜9. …………………………………………………….10分
4. （2016·湖北黄冈）（满分14分）如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点. 设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A，点B，点C的坐标；
(2)求直线BD的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（第24题）
【考点】二次函数综合题.
【分析】（1）将x=0，y=0分别代入y=-x2+x+2=2中，即可得出点A，点B，点C的坐标；
（2）因为点D与点C关于x轴对称，所以D(0, -2)；设直线BD为y=kx-2, 把B(4, 0)代入，可得k的值，从而求出BD的解析式.
（3）因为P(m, 0)，则可知M在直线BD上，根据（2）可知点Mr坐标为M(m, m-2)，因这点Q在y=-x2+x+2上，可得到点Q的坐标为Q(-m2+m+2). 要使四边形CQMD为平行四边形，则QM=CD=4. 当P在线段OB上运动时，QM=(-m2+m+2)-（m-2）= -m2+m+4=4, 解之可得m的值.
（4）△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，但不知直角顶点，因此需要情况讨论：当以点B为直角顶点时，则有DQ2= BQ2+ BD2.；当以D点为直角顶点时，则有DQ2= DQ2+ BD2. 分别解方程即可得到结果.
【解答】解：（1）当x=0时，y=-x2+x+2=2,
∴C（0，2）. …………………………………………………….1分
当y=0时，－x2+x+2=0
解得x1=－1，x2=4.
∴A(-1, 0)，B(4, 0). ………………………………………………3分
（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0, -2). ……………………………………………………….4分
设直线BD为y=kx-2,
把B(4, 0)代入，得0=4k-2
∴k=.
∴BD的解析式为：y=x-2. ………………………………………6分
（3）∵P(m, 0),
∴M(m, m-2)，Q(-m2+m+2)
若四边形CQMD为平行四边形，∵QM∥CD， ∴QM=CD=4
当P在线段OB上运动时，
QM=(-m2+m+2)-（m-2）= -m2+m+4=4, ………………….8分
解得 m=0（不合题意，舍去），m=2.
∴m=2. ………………………………………………………………10分
（4）设点Q的坐标为（m, -m2+m +2），
BQ2=(m-4)2+( -m2+m +2)2,
BQ2=m2+［(-m2+m +2)+2］2, BD2=20.
①当以点B为直角顶点时，则有DQ2= BQ2+ BD2.
∴m2+［(-m2+m +2)+2］2= (m-4)2+( -m2+m +2)2+20
解得m1=3，m2=4.
∴点Q的坐标为（4, 0）（舍去），（3，2）. …………………..11分
②当以D点为直角顶点时，则有DQ2= DQ2+ BD2.
∴(m-4)2+( -m2+m +2)2= m2+［(-m2+m +2)+2］2+20
解得m1= -1，m2=8.
∴点Q的坐标为（-1, 0），（8，-18）.
即所求点Q的坐标为（3，2），（-1, 0），（8，-18）. ……………14分
注：本题考查知识点较多，综合性较强，主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，一次函数，对称，动点问题等知识点。在（4）中要注意分类讨论思想的应用。
5．（2016·湖北十堰）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 ，PH= 5 ，由此发现，PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①求出PO、PH即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣ m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．
（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣ m2+1），由=列出方程即可解决问题．
【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），
∴﹣3=+1，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．
（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1
PO==m2+1，
∴PO=PH．
（3）∵BC==，AC==，AB==4
∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴=，设点P（m，﹣ m2+1），
∴=，
解得m=±1，
∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题．
6. （2016·湖北咸宁）（本题满分10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件. 为了促俏，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件. 已知该款童装每件成本价40元. 设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【考点】一次函数、二次函数的应用.
【分析】（1）每星期的销售量=原来的销售量+降价销售而多销售的销售量就可得出函数关系式；
（2）根据销售量×销售单价=利润，建立二次函数，进一步用配方法解决求最大值问题．
（3）列出一元二次方程，根据抛物线W= -30(x-55)2+6750的开口向下可得出当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6480元，再在 y= -30+2100中，根据k= -30＜0，y随x的增大而减小，求解即可.
【解答】解：(1)y=300+30(60-x)=-30x+2100. ……………………………………..2分
（2）设每星期的销售利润为W元，依题意，得
W=(x-40)(-30x+2100)=-30x2+3300x-84000 ………………………..4分
= -30(x-55)2+6750.
∵a= -30＜0
∴x=55时，W最大值=6750（元）.
即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元. ……………………………………………………….6分
（3）由题意，得
-30(x-55)2+6750=6480
解这个方程，得 x1=52，x2=58. …………………………..7分
∵抛物线W= -30(x-55)2+6750的开口向下
∴当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6480元.
…………………………………8分
∴在y= -30+2100中，k= -30＜0，y随x的增大而减小.
…………………………………………….9分
∴当x=58时，y最小值= -30×58+2100=360.
即每星期至少要销售该款童装360件. …………….10分
【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数的应用. 建立函数并运用一次函数和二次函数的性质解题是解题的关键.
7. (2016·四川资阳)已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．
（2））①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），
∴y=﹣x2+x+2．
（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．
∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，
∴==3，
∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，
∴△AOC∽△MNO，
∴∠OAC=∠NMO，
∵∠NMO+∠MON=90°，
∴∠MON+∠OAC=90°，
∴∠AGO=90°，
∴OM⊥AC，
∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，
∴O′M′∥OM，
∴O′M′⊥AC，
∵M′F=FO′，
∴EM′=EO′，
∵EN′∥CO，
∴=，
∴=，
∴EN′=（5﹣t），
在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，
∴（+t）2=1+（﹣t）2，
∴t=1．
②如图2中，
∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，
∴GH⊥AC，
∴∠GHE=90°，
∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，
∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，
∴△GHE∽△AOC，
∴==，
∴EG最大时，EH最大，
∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．
∴t=2时，EG最大值=，
∴EH最大值=．
∴t=2时，EH最大值为．
8. (2016·新疆)如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出结论；
（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，
∴c=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴E（1，﹣4），
∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，BE=2，CE=，
∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD=1，OB=3，BD=，
∴，，，
∴，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，PB=，PC=，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴=，
∴m=﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB=BC时，
∴3=，
∴m=±，
∴P（1，）或P（1，﹣），
③当PC=BC时，
∴3=，
∴m=﹣3±，
∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），
∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是分类．
9. (2016·云南)草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）
=﹣2x2+380x﹣6800
=﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大，
∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．
【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式与二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键．
12. (2016·云南)在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值．
【解答】解：（1）①二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，
解得x1=，x2=﹣，
∴AB=2．
∵平移得到的抛物线L1经过点B，
∴BC=AB=2，
∴AC=4．
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，
根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，
∴OM=．
设抛物线L2的函数表达式为y=a（x﹣）2，
由①得，B点的坐标为（，2），
∴2=a（﹣）2，
解得a=4．
抛物线L2的函数表达式为y=4（x﹣）2；
（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，
过点B作BK⊥x轴于点K，
设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），
根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x﹣4t），
∵该抛物线过点B（t，at2），
∴at2=a3t（t﹣4t），
∵t≠0，
∴=﹣，
由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4a3t2），
则﹣4a3t2=ax2，
解得，x1=﹣t，x2=t，
EF=t，
∴=．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键．
10. （2016·四川成都·10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标．
（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交与点M1时，根据S=×10=3，求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2坐标．
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．
∴a﹣3=﹣，解得：a=，
∴y=（x+1）2﹣3
当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，
∴x1=2，x2=﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0）．
（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×10=3，
∴×3×（﹣y）=3
∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．
②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．
综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴﹣k+b=0，
∴b=k，
∴y=kx+k．
由，
∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，
∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1， k2）．
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3
由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，
整理得：3k4﹣k2﹣4=0，
∵k2+1＞0，
∴3k2﹣4=0，
解得k=±，
∵k＜0，
∴k=﹣，
∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）
∴PM=DN=2，
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．
11. （2016·四川广安·10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先确定出点A坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定出PD=|m2+4m|，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，得到|m2+4m|=3，分两种情况进行讨论计算即可；
（3）由△PAM为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线AP的解析式，最后求出直线AP和抛物线的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，
∴A（0，﹣3），
∵B（﹣4，﹣5），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，
（2）存在，
设P（m，m2+m﹣3），（m＜0），
∴D（m， m﹣3），
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥AO，
∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
∴|m2+4m|=3，
①当m2+4m=3时，
∴m1=﹣2﹣，m2=﹣2+（舍），
∴m2+m﹣3=﹣1﹣，
∴P（﹣2﹣，﹣1﹣），
②当m2+4m=﹣3时，
∴m1=﹣1，m2=﹣3，
Ⅰ、m1=﹣1，
∴m2+m﹣3=﹣，
∴P（﹣1，﹣），
Ⅱ、m2=﹣3，
∴m2+m﹣3=﹣，
∴P（﹣3，﹣），
∴点P的坐标为（﹣2﹣，﹣1﹣），（﹣1，﹣），（﹣3，﹣）．
（3）如图，
∵△PAM为等腰直角三角形，
∴∠BAP=45°，
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，
设直线AP解析式为y=kx﹣3，
∵直线AB解析式为y=x﹣3，
∴k==3，
∴直线AP解析式为y=3x﹣3，
联立，
∴x1=0（舍）x2=﹣
当x=﹣时，y=﹣，
∴P（﹣，﹣）．
12. （2016·四川乐山·13分）在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图所示的.
（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；
（2）连结，点是位于线段上方的抛物线上一动点，若直线将的面积分成两部分，求此时点的坐标；
（3）现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.
解析：
（1）∵、，将经过旋转、平移变化得到如图所示的，
∴.∴.…………………(1分)
设经过、、三点的抛物线解析式为，
则有，解得：.
∴抛物线解析式为.…………………(4分)
（2）如图4.1所示，设直线与交于点.
∵直线将的面积分成两部分，
∴或，…………………(5分)
过作于点，则∥.
∴∽,∴.
∴当时，，
∴，∴.…………………(6分)
设直线解析式为，则可求得其解析式为，
∴，∴（舍去），
∴.…………………(7分)
当时，同理可得.…………………(8分)
（3）设平移的距离为，与重叠部分的面积为.
可由已知求出的解析式为，与轴交点坐标为.
的解析式为，与轴交点坐标为. ………(9分)
①如图4.2所示，当时，与重叠部分为四边形.
设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.
由，得 ，∴.……………(10分)
∴
.
∴的最大值为.…………………(11分)
②如图所示，当时，与重叠部分为直角三角形.
设与轴交于点， 与交于点.则，
，.
∴.…………………(12分)
∴当时，的最大值为.
综上所述，在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.…………………(13分)
13. （2016·四川凉山州·12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：
故抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．
（2）当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，
此时x=﹣=1，
故P（1，0）；
（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：
MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：
m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：
m2+4=10，得：m=±；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：
m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；
当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．
14. （2016湖北宜昌，24，12分）已知抛物线y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m为常数，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，y1），B（，y2），C（﹣m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．
（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；
（3）当1＜PH≤6时，试比较y1，y2，y3之间的大小．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可解决问题．
（2）列方程组根据△=0解决问题．
（3）首先证明y1=y3，再根据点B的位置，分类讨论，①令＜﹣m﹣1，求出m的范围即可判断，②令=﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．
③令＞﹣m﹣1，求出m的范围即可判断，④令﹣≤＜﹣m，求出m的范围即可判断，⑤令=﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．⑥令＞﹣m，求出m的范围即可判断．
【解答】解：（1）∵﹣=﹣， ==﹣，
∴顶点坐标（﹣，﹣）．
（2）由消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0，
∵抛物线与x轴有且仅有一个公共点，
∴△=0，即（k﹣3）m=0，
∵无论m取何值，方程总是成立，
∴k﹣3=0，
∴k=3，
（3）PH=|﹣﹣（﹣）|=||，
∵1＜PH≤6，
∴当＞0时，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，
∴＜m，
当＜0时，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，
∴﹣1，
∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，
∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上，
∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m，
∵C（﹣m，y3）在抛物线上，
∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m，
∴y1=y3，
①令＜﹣m﹣1，则有m＜﹣，结合﹣1≤m≤﹣，
∴﹣1≤m＜﹣，
此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，
∴y2＞y1=y3，
即当﹣1≤m＜﹣时，有y2＞y1=y3．
②令=﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．
③令＞﹣m﹣1，且≤﹣时，有﹣＜m≤﹣，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣＜m≤﹣，
此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，
∴y1=y3＞y2，
即当﹣＜m≤﹣时，有y1=y3＞y2，
④令﹣≤＜﹣m，有﹣≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣，
∴﹣≤m＜﹣，
此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，
∴y2＜y3=y1．
⑤令=﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．
⑥令＞﹣m，有m＞0，结合＜m≤，
∴＜m≤，
此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，
∴y2＞y3=y1，
即当＜m≤时，有y2＞y3=y1，
综上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1=y3，
﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1=y3．
【点评】本题考查二次函数综合题、顶点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式解决抛物线与直线的交点问题，学会分类讨论，学会利用函数图象判断函数值的大小，属于中考压轴题．
15. （2016吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
【考点】二次函数的性质；菱形的性质．
【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC==5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为，
故答案为．
【点评】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．
16.（2016吉林长春，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a（x﹣h）2．抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y=a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．
（1）求a的值；
（2）当抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l．
①求的值；
②求l与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把（0，0）代入y=a（x﹣3）2+4即可解决问题．
（2）①用m的代数式表示PQ、QQ′，即可解决问题．
②分0＜m≤3或3＜m＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决．
（3），①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，四边形OAQQ′是等腰梯形．②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，
∴x=0时，y=0，
∴9a+4=0，
∴a=﹣．
（2）∵抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，
∴h=0，∵a=﹣，
∴y=﹣x2．
①∵P（m，﹣ +m），Q（m，﹣），
∴PQ=﹣+m﹣（﹣）=m，QQ′=2m，
∴==．
②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，
∵=，∠PQQ′=∠BMO=90°，
∴△PQQ′∽△BMO，
∴∠QPQ′=∠OBM，
∵EF∥BM，
∴∠OEF=∠OBM，
∴∠OEF=∠QPQ′，
∴OE∥PQ′，
∵=，
∴EF=，OE=，
∴l=OF+EF+OE=m++m=4m，
当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．
∵AF=6﹣m，tan∠EAF==，
∴EF=m，AE=，
∵tan∠PGF==，PF=﹣+，
∴GF=﹣m2+2m，
∴AG=﹣m2+m+6，
∴GM=AM=﹣m2+m+3，
∵HG=HA=，=﹣m2+m+5，
∴l=GH+EH+EF+FG=﹣m2++10．
综上所述l=．
（3）如图3中，①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，
∴点O、A关于对称轴对称，点Q，Q′关于对称轴对称，
∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，
∴四边形OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形．
②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，OQ′1=OA=6，
∵Q′1Q1=OA=6，
∴点Q1的纵坐标为4，
在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，
∴HQ′1=2，
∴h=3﹣2或3+2，
综上所述h=3或3﹣2或3+2时点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形．
【点评】本题考查二次函数的综合题、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图象解决问题，属于中考压轴题．
17. （2016江苏淮安，27，12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣ t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣ t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．
【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
当y=0时，﹣ x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，
所以C点坐标为（8，0）；
（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣ t2+t+8），
∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，
∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=•4•t+•8•（﹣t2+t+8）﹣•4•8
=﹣t2+6t+16
=﹣（t﹣3）2+25，
当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴S的最大值为50；
②∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），
∵E（t﹣8，﹣ t2+t+12）在抛物线上，
∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，
当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，
∴此时S=2S△CDF=18．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．
18.（2016·广东广州）已知抛物线与x轴相交于不同的两点,
求的取值范围
证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由.
［难易］ 综合性强
［考点］ 根的判别式，韦达定理，最值的求法
［解析］ （1）根据根的判别式求出m的取值范围，注意
（2）令,得出,故过定点P(3,4)
（3）利用韦达定理写出AB的长度，再根据m的取值范围，求出面积的范围
［参考答案］
根据已知可知
所以 所以
所以m的取值范围为且.
令，则,令得，当时，；当时，；所以抛物线过定点（－1，0），（3，4），因为（－1，0）在x轴上，所以抛物线一定经过非坐标轴上一点P，P的坐标为(3,4)
设A,B的坐标为,则
因为,所以,所以＝2AB＝
因为,所以,所以,所以当时，有最大值，最大值为＝
19.（2016·广东茂名）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接PC、PE，
x=﹣=﹣=1，
当x=1时，y=4，
∴点D的坐标为（1，4），
设直线BD的解析式为：y=mx+n，
则，
解得，，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），
则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC=PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x=2，
则y=﹣2×2+6=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a=﹣a2+2a+3时，
整理得，a2﹣3a﹣1=0，
解得，a=，
当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5=0，
解得，a=，
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
20.（2016·广东梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐
标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上．
（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
考点：二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力。
解析：（1），， ．
（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵OA=OC，∠AOC =90°
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1 =90°-45°=45°=∠C P1M．
∴MC=MP1．………………5分
由（1）可得抛物线为．
设，则，
解得：（舍去），．
∴．
则P1的坐标是． ………………………6分
第二种情况，当以A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F．
∴P2N∥x轴．
由∠CAO=45°，
∴∠OAP2=45°．
∴∠FP2N=45°，AO=OF=3．
∴P2N=NF．
设，则．
解得：（舍去），．
∴，
则P2的坐标是．
综上所述，P的坐标是或．………………………7分
(本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．……………8分
由（1）可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴ D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴．
∴点P的纵坐标是．………………9分
则， 解得：．
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．
……………10分
21.（2016·广东深圳）如图，抛物线与轴交于A、B两点，且B（1 , 0）。
求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线上的动点，当直线平分∠APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线 分别与轴 轴 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作 轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE。问以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。
考点：二次函数的解析式、图象及其性质，三角形的全等，三角函数，应用数学知识解决问题的能力。
解析：（1）把B（1,0）代入y=ax+2x-3
得a+2-3=0,解得a=1
∴y=x+2x-3 ,A(-3,0)
（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO
如答图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点
∵∠POB=∠PO=45°，∠APO=∠BPO，PO=PO
∴△≌△OPB
∴=1,
∴PA: y=3x+1
∴
若P点在x轴下方时，
综上所述，点P的坐标为
（3）如图2，做QHCF，
CF:y=-，C,F
tan∠OFC=
DQ∥y轴
∠QDH=∠MFD=∠OFC
tan∠HDQ=
不妨记DQ=1,则DH=,HQ=
QDE是以DQ为腰的等腰三角形
若DQ=DE,则
若DQ=QE,则
＜
当DQ=QE时则△DEQ的面积比DQ=DE时大
设Q
当DQ=t=
以QD为腰的等腰
22..（2016·广西贺州）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求AD的长；
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；
（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），
∴A（10，0），
又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，
设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，
∴AD=5；
（3）∵y=﹣x2+x，
∴其对称轴为x=5，
∵A、O两点关于对称轴对称，
∴PA=PO，
当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，
如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，
由（2）可知D点的坐标为（10，5），
设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，
∴直线OD解析式为y=x，
令x=5，可得y=，
∴P点坐标为（5，）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大．
23. (2016年浙江省丽水市)如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵a=＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，
∴绳子最低点离地面的距离为： m；
（2）由（1）可知，BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（4﹣m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，
解得：m18﹣24，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
24.（2016年浙江省宁波市）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数的性质．
【专题】动点型．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．
25.（2016年浙江省衢州市）已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示
（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x=1的根（精确到0.1）．
（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令y=0求得抛物线与x的交点坐标，从而可确定出1个单位长度等于小正方形边长的4倍，接下来作直线y=1，找出直线y=1与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解；
（2）先求得直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到直线y=x+的函数图象，然后找出一次函数图象位于直线下方部分x的取值范围即可；
（3）先依据抛物线的顶点坐标和点P的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点P的坐标代入函数解析式，如果点P的坐标符合函数解析式，则点P在直线上，否则点P不在直线上．
【解答】解：（1）∵令y=0得：x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）．
作直线y=1，交抛物线与A、B两点，分别过A、B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根．
根据图形可知方程的解为x1≈﹣1.6，x2≈0.6．
（2）∵将x=0代入y=x+得y=，将x=1代入得：y=2，
∴直线y=x+经过点（0，），（1，2）．
直线y=x+的图象如图所示：
由函数图象可知：当x＜﹣1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P（﹣1，1）．
平移后的表达式为y=（x+1）2+1，即y=x2+2x+2．
点P在y=x+的函数图象上．
理由：∵把x=﹣1代入得y=1，
∴点P的坐标符合直线的解析式．
∴点P在直线y=x+的函数图象上．
26.（2016年浙江省温州市）如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据A、C两点纵坐标相同，求出点A横坐标即可解决问题．
（2）求出点D坐标，然后判断即可．
（3）①首先根据EO=2FG，证明BG=2DE，列出方程即可解决问题．
②求出直线AE、BO的解析式，求出交点M的横坐标，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC=m，
∴BE=2AC=2m．
（2）∵m=，
∴点A坐标（，﹣3），
∴直线OA为y=﹣x，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3，
∴点B坐标（2，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数y=﹣x，当y=3时，x=﹣，
∴点D坐标（﹣，3）．
∵对于函数y=x2﹣x﹣3，x=﹣时，y=3，
∴点D在落在抛物线上．
（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵•DE•EO=•GB•GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴==，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m=．
②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），
∴直线AE解析式为y=﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y=x，
由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3=x，解得x=，
∴点M横坐标为，
∵△AMF的面积=△BFG的面积，
∴•（+3）•（m﹣）=•m••（2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2=0，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
27.（2016·山东烟台）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．
（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积．
（3）先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣ m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值．
【解答】解：（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），
∴点C的横坐标为4，BC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵A（2，6），
∴D（6，6），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，
∵点D在此抛物线上，
∴6=a（6﹣2）2+2，
∴a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，
（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）
∴E（，3），
∴BE=，
∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3
∵点F（m，6）是线段AD上，
∴2≤m≤6，
即：S=m﹣3
．（2≤m≤6）
（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直线AC解析式为y=﹣x+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P
∴P（m，﹣ m+9），（2≤m≤6）
∴PN=m，PM=﹣m+9，
∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，
∴∠MPN=90°，
∴MN===
∵2≤m≤6，
∴当m=时，MN最大==．
28．（2016·山东枣庄）25. (本题满分10分)
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.
⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】（1），；（2）M（－1，2）；（3）满足条件的点P共有四个,分别为(－1，－2), (－1，4), (－1，) ,(－1，)．
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，可得方程组，解方程组可求得a、b、c的值，即可得抛物线的解析式；根据抛物线的对称性和点A的坐标（1，0）可求得B点的坐标（－3，0），用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点，把x=-1代入直线BC的解析式求得y的值，即可得点M的坐标；（3）分①B为直角顶点，②C为直角顶点，③P为直角顶点三种情况分别求点P的坐标．
试题解析：（1）依题意，得 解之，得
∴抛物线解析式为．
∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（－3，0）．
把B（－3，0）、C（0，3）分别直线y＝mx＋n，得
PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.
解之,得t＝－2.
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即
18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即
4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．
考点：二次函数综合题.
29.（2016·山西）（本题14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构
成
分析：（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式
点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标
点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令
其横坐标为，即可求出点E的坐标
（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所
以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标
（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解
解答：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得…………………………………（1分）
抛物线的函数表达式为……………………………（2分）
，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）…………………（4分）
设直线l的函数表达式为．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．
直线l的函数表达式为………………………………………………………（5分）
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）
（2）抛物线上存在点F，使≌．
点F的坐标为（）或（）．……………………………………（8分）
（3）解法一：分两种情况：
①当时，是等腰三角形．
点E的坐标为（3，－4），，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，……………………………………（9分）
点M的坐标为（0，－5）．
设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为（15，0）…（10分）
又MH//PB，，即，……………………………（11分）
②当时，是等腰三角形．
当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），
，OE=CE，，又因为，，
，CE//PB………………………………………………………………（12分）
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为
（6，0）………………………………………………………………（13分）
CN//PB，，，解得………………（14分）
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．
解法二：
当x=0时， ，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为
（3，－4），，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
当时，是等腰三角形．
，，CE//PB………………………………………（9分）
又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，
，HM//y轴，
∽，……………………………………………………（10分）
………………………………………………………（11分）
②当时，是等腰三角形．
轴，∽，，……………（12分）
，，轴，∽，…………………………………………………（13分）
………………（14分）
当m的值为或时，是等腰三角形．
30.（2016·上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；
（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；
（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），
∴OC=5．
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又点B在x轴的负半轴上，
∴B（﹣1，0）．
∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．
连接AC，
∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），
又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，
∴CH=2，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，
∴tan∠CBH==．
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，
∵∠BEO=∠ABC，
∴，得EO=，
∴点E的坐标为（0，）．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．
31.（2016·四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6，于是可求得m的值；
（2）由（1）的可知点A、B的坐标；
（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．
【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣，
∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．
令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，
∵m≠0，
∴x=﹣5或x=1．
∴A（﹣5，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为为6，
∴﹣=6．
∴m=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）．
（3）如图所示：
∵OP的解析式为y=x，
∴∠AOP=30°．
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°．
∴∠DPF+∠FOD=180°．
∴点O、D、P、F共圆．
∴∠PDF=∠PBF．
∴∠PDF=60°．
32.（2016山东省聊城市）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式；
（2）由GH∥A1O1，求出GH=1，再求出FH，S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH计算即可；
（3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），
∵C（0，4）在抛物线上，
∴4=﹣27a，
∴a=﹣，
∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）
∴﹣x2+x+4=4，
∴x=6，
∵D（6，4），
（2）如图1，
∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH=，
∵GH∥A1O1，
∴，
∴，
∴GH=1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．
（3）①当0＜t≤3时，如图2，
∵C2O2∥DE，
∴，
∴，
∴O2G=t，
∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，
②当3＜t≤6时，如图3，
∵C2H∥OC，
∴，
∴，
∴C2H=（6﹣t），
∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH
=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）
=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）
=t2﹣3t+12
∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，解本题的关键是画出图形．
33．（2016.山东省青岛市）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边似的距离分别为m， m．
（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意求得B（，），C（，），解方程组求得拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
（2）令y=0，即﹣x2+2x=0，解方程得到x1=0，x2=2，即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：B（，），C（，），
把B，C代入y=ax2+bx得，
解得：，
∴拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x；
∴图案最高点到地面的距离==1；
（2）令y=0，即﹣x2+2x=0，
∴x1=0，x2=2，
∴10÷2=5，
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．
34.（2016.山东省泰安市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；
（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a+9=5，
∴a=﹣1，
y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，
（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，
∴x1=﹣1，x2=5，
∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；
设P（x，﹣x2+4x+5），
∴D（x，﹣x+5），
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，
∵AC=4，
∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，
∴当x=﹣=时，
∴S四边形APCD最大=，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，
当x=1时，M点纵坐标为8，
当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（﹣1，0），
∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，
∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26
∵MN=AE
∴MN2=AE2，
∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N=M2N，
∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．
35．（2016.山东省威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
∴﹣8a=4，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；
（2）如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴=，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′（2h，h+4）
∵点E′在抛物线上，
∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=
∴E′（1，），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E（3，），
点E的坐标为（1，），（3，）
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，
交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
设点P′（m，﹣ m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，
∴m=﹣m2+2m，
∴m=0（舍）或m=4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P（n，﹣ n2+n+4），
∴CQ=n，OQ=n+2，
∴n+4=﹣n2+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4﹣4．
36.（2016·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．
（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；
（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y=x2﹣x，由于BC∥x轴，设C（x0，2）．于是得到方程x02﹣x0=2，即可得到结论；
（2）设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y=x2﹣x=0，或令y=x2﹣x=4，解方程即可得到结论；
（3）解直角三角形得到OB=2，OA=，OC=，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论．
【解答】解：（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得：，解得，
故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x，
∵BC∥x轴，
设C（x0，2）．
∴x02﹣x0=2，解得：x0=﹣或x0=2，
∵x0＜0，
∴C（﹣，2）；
（2）设△BCM边BC上的高为h，
∵BC=，
∴S△BCM=h=，
∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，
∴M的纵坐标为0或4，令y=x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=，
∴M1（0，0），M2（，0），令y=x2﹣x=4，
解得：x3=，x4=
，∴M3（，0），M4（，4），
综上所述：M点的坐标为：（0，0），（，0），（，0），（，4）；
（3）∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣，2），D（0，2），
∴OB=2，OA=，OC=，
∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=，
①如图1，当△AOC∽△BON时，，∠AOC=∠BON，
∴ON=2OC=5，
过N作NE⊥x轴于E，
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，
在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=，
∴OE=4，NE=3，
∴N（4，3）同理可得N（3，4）；
②如图2，当△AOC∽△OBN时，，∠AOC=∠OBN，
∴BN=2OC=5，
过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，
∴NF⊥BF，
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，
∴tan∠NBF=tan∠COD=，
∴BF=4，NF=3，
∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1），
综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．
【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
37.（2016·江苏苏州）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；
（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；
（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．
【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，
∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，
∴x=，
∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），
∴DM=m﹣=，
∴S=DM•BE+DM•OE
=DM（BE+OE）
=DM•OB
=××3
=
=（m﹣）2+
∵0＜m＜3，
∴当m=时，
S有最大值，最大值为；
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（，），
∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，
∴﹣（﹣x）2=﹣x2，
∴x=，
cos∠M′BG==，
∵l1∥l′，
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
38．（2016·江苏省宿迁）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．
【分析】（1）根据收费标准，分0＜x≤30，30＜x≤m，m＜x≤100分别求出y与x的关系即可．
（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，根据二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）y=．
（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，
当30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，
∵a=﹣1＜0，
∴x≤75时，y随着x增加而增加，
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，
∴30＜m≤75．
【点评】本题考查二次函数的应用、分段函数等知识，解题的关键是利用函数的性质解决实际问题，学会利用二次函数的性质解决增减性问题，属于中考常考题型．
39．（10分）（2016宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．
【分析】（1）根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题．
（2）由PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2可知OP最大时，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解决问题．
（3）画出函数图象即可解决问题．
【解答】（1）解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），
故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．
（2）∵A（﹣1，0），B（1，0），
∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2，
∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，
∴OP的最大值=OC+PO=+1，
∴PA2+PB2最大值=2（+1）2+2=38+4．
（3）M与N所围成封闭图形如图所示，
由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．
【点评】本题考查二次函数综合题、最值问题等知识，解题的关键是记住函数图象的平移、翻折变换的规律，学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题解决，属于中考压轴题．
40．（2016•江苏省扬州）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．
（3）设T（m，m2﹣），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣=﹣m+b，b=m2﹣+，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，
则有解得
∴二次函数y=x2﹣2x，
（2）由（1）得，B（1，﹣1），
∵A（﹣1，3），
∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，
设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或
∴P（1+，2）和（1﹣，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
∴P（1+，4）或（1﹣，4）．
（3）设T（m，m2﹣），∵TM⊥OC，
∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣=﹣m+b，b=m2﹣+，
由解得，
∴OM==，ON=m•，
∴=，
∴k=时， =．
∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．
41．（2016•辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．
（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为（ 10 、 0 ），BK的长是 8 ，CK的长是 10 ；
②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题．
②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题．
③设OA=AF=x，在RT△ACF中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．
（2）不变．S1•S2=189．由△GHN∽△MHG，得=，得到GH2=HN•HM，求出GH2，根据S1•S2=•OG•HN••OG•HM即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，
∴点B坐标（10，0），
∵四边形OBKC是矩形，
∴CK=OB=10，KB=OC=8，
故答案分别为10，0，8，10．
②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，
∴FK==6，
∴CF=CK﹣FK=4，
∴点F坐标（4，8）．
③设OA=AF=x，
在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，
∴（8﹣x）2+42=x2，
∴x=5，
∴点A坐标（0，5），代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5，
∴抛物线为y=x2﹣3x+5．
（2）不变．S1•S2=189．
理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，
∴DG===15，
∴CG=CD﹣DG=2，
∴OG===2，
∵CP⊥OM，MH⊥OG，
∴∠NPN=∠NHG=90°，
∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，
∴∠HGN=∠NMP，
∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，
∴△GHN∽△MHG，
∴=，
∴GH2=HN•HM，
∵GH=OH=，
∴HN•HM=17，
∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=（•2）2•17=289．
【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△GHN∽△MHG求出HN•HM的值，属于中考压轴题．
42．（2016•呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先利用对称轴公式x=﹣计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知y=，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2﹣|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2﹣|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．
【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣=1，
∴抛物线过（1，4）和（，﹣）两点，
代入解析式得：，
解得：a=﹣1，c=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；
由三角形两边之差小于第三边可知：
|PC﹣PD|≤|CD|，
∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，
|CD|=，
由于CD所在的直线解析式为y=x+3，
将P（t，0）代入得t=﹣3，
∴此时对应的点P为（﹣3，0）；
（3）y=a|x|2﹣|x|+c的解析式可化为：
y=
设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：
线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，
∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
y=有一个公共点，此时t=，
当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与
y=有两个公共点，所以当≤t＜3时，
线段PQ与y=有一个公共点，
②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：
﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，
﹣x2+4x+3﹣2t=0，
令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，
t=＞0，
所以当t=时，线段PQ与y=也有一个公共点，
③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与
y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，
所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，
综上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．
43.(2016安徽，22，12分)如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．
【分析】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．
【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
S△OAD=OD•AD=×2×4=4；
S△ACD=AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；
S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
44. (2016兰州，28, 10 分）如图 1，二次函数 的图像过点 A （3，0）， B （0， 4）两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P作 PD y 于点 D ，交抛物线于点 C . 设运动时间为 t （秒）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接 BC ，当t＝5／6时，求△BCP 的面积；
（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时， P 、 Q 两点同时停止运动，连接 DQ 、 PQ ，将△DPQ沿直线 PC 折叠到 △DPE . 在运动过程中，设 △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.21*cnjy*com
【考点】本题主要考察二次函数的综合应用，涉及待定系数法，求解三角形的面积及动点问题。
中需要注意待定系数法的应用步骤；（2）中求解 C 的坐标是关键；（3）中可结合（2）得出答案。本题知识点较多，综合性强，难度较大。
45．(2016福州，27,10分)已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．
（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．
（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0﹣1）2+2，
∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax2+bx，
∵h=﹣，
∴b=﹣2ah，
∴y=ax2﹣2ahx，
∵顶点A（h，k），
∴k=ah2﹣2ah，
抛物线y=tx2也经过A（h，k），
∴k=th2，
∴th2=ah2﹣2ah2，
∴t=﹣a，
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，
∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，
∴h=，
∵﹣2≤h＜1，
∴﹣2≤＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，
综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．
【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．
46．(2016大连，22，9分)如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），E点的坐标为（m，），可得两点间的距离为d=，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，
∴A（，0），B（，0）；
令x=0，则y=，
∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），
∴E点的坐标为（m， m），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为（，）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．