南京市2016 年初中毕业生学业考试
数学
一．选择题
1．为了方便市民出行．提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统．根据规划，全市公共自行车总量明年将达70 000辆．用科学计数法表示70 000是
A．0.7105 B. 7 C. 7105 D. 70103
2．数轴上点A、B表示的数分别是5、-3，它们之间的距离可以表示为
A．－3＋5 B. －3－. ｜－3＋5｜ D. ｜－3－5｜
3．下列计算中，结果是的是
A． B. C. D.
下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是
A．3，4，4 B. 3，4， C. 3，4，6 D. 3，4，7
5．己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为
A． B. C. 2 D.
若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，则x的值为
A． B. C. 或6 D. 或
二．填空题
7. 化简：______；______.
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.
9. 分解因式的结果是_______.
10.比较大小：________.(填“>””<”或“=”号)
11.方程的解是_______.
12.设是方程的两个根，且－＝1,
则______,=_______.
13. 如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则_____°.
14. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是_______.
15. 如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为________.
16.如图，菱形ABCD的面积为120，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_______.
三.解答题
17. 解不等式组 并写出它的整数解.
18. 计算
19. 某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的乘积，得到下列统计图，
求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
下列关于本次数学测试说法正确的是（ ）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D. 随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数。
新 课 标
20. 我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表.
21.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”。
如图，、、是△ABC的三个外角.
求证°.
证法1：∵________.
∴+++++==540°.
∴.
∵ ________.
∴[
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
22.某景区~ 一周天气预报如下，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率；
(1) 随机选择一天，恰好天气预报是晴；
(2) 随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴.
23.下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加/km.
(1) 当速度为、时，该汽车的耗油量分别为_____L/km、____L/km.
(2) 求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式
(3) 速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
24.如图，在四边形ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使.
(1) 求证
(2) 用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图痕迹，不写作法）。
25.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽，从O、A两处观测P处，仰角分别为，且，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 求点P的坐标
(2) 水面上升，水面宽多少（ 取1.41，结果精确到）？
26.如图，O是△ABC内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC。连接DF、EG。
(1) 求证：AB=AC
(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.
27.如图，把函数y=x的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图像；也可以把函数y=x的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图像.类似地，我们可以认识其他函数.
(1)把函数的图像上各点的纵坐标变为原来的_____倍，横坐标不变，得到函数的图像；也可以把函数的图像上各点的横坐标变为原来的_____倍，纵坐标不变，得到函数的图像.
(2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变。
（i）函数的图像上所有的点经过④→②→①，得到函数_______的图像；
(ii)为了得到函数的图像，可以把函数的图像上所有的点
A.①→⑤→③ B.①→⑥→③ C.①→②→⑥ D.①→③→⑥
（3）函数的图像可以经过怎样的变化得到函数的图像？（写出一种即可）
考点：三角形的中位线，三角形相似的性质。
解析：因为EF是△ODB的中位线，EF＝2，所以，DB＝4，
又AC∥BD，所以，，所以，AC＝
16.如图，菱形ABCD的面积为120，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_______.
答案：13
考点：菱形、正方形的性质及其面积的计算方法，勾股定理。
解析：连结AC、BD交于点O，由对称性知，菱形的对角线BD过点E、F，由菱形性质知，BD⊥AC，
所以，＝120 ①，
又正方形的面积为50，所以，AE＝，所以，AO2＋EO2＝50，AO＝EO＝5
所以，AC＝10，代入①式，得BD＝24，所以，BO＝12，
由AO2＋BO2＝AB2，得AB＝13
三.解答题
17. 解不等式组 并写出它的整数解.
考点：不等式组的解法。
解析：解不等式①，得x≤1．
解不等式②，得x＞－2．
所以，不等式组的解集是－2＜x≤1．
该不等式组的整数解是－1，0，1． ·····················································7 分
18. 计算
考点：分式的运算，平方差公式，完成平方公式。
解析：
＝
19. 某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的乘积，得到下列统计图，
求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
下列关于本次数学测试说法正确的是（ ）
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D. 随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数。
考点：统计图，众数、平均数的计算。
解析：（1）该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数为80×60%＋82.5×40%＝81（分）．
（2）D．
20. 我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表.
考点：轴对称图形及其性质。
解析：（1）AB＝A′B′；AB∥A′B′．
（2）AB＝A′B′；对应线段AB 和A′B′所在的直线相交，交点在对称轴l 上．
（3）l 垂直平分AA′．
（4）OA＝OA′；∠AOA′＝∠BOB′．
21.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”。
如图，、、是△ABC的三个外角.
求证°.
证法1：∵________.
∴+++++==540°.
∴.
∵ ________.
∴
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
考点：三角形的内角和定理，两直线平行的性质。
解析：∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°．
∠1＋∠2＋∠3＝180°．
证法2：过点A 作射线AP，使AP∥BD．
∵ AP∥BD，
∴ ∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP．
∵ ∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，
∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．
22.某景区-一周天气预报如下，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率；
(1) 随机选择一天，恰好天气预报是晴；
(2) 随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴.
考点：概率的求解。
解析：（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7 种，即7 月1 日晴、7 月2 日晴、
日雨、 日阴、 日晴、 日晴、 日阴，并且它们出现
的可能性相等．恰好天气预报是晴（记为事件A）的结果有4 种，即7 月1 日晴、
日晴、 日晴、 日晴，所以P（A）＝
（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6 种，即（7 月1 日晴，7 月
2 日晴）、（ 日晴， 日雨）、（ 日雨， 日阴）、（ 日阴，
日晴）、（ 日晴， 日晴）、（ 日晴， 日阴），并且它们
出现的可能性相等．恰好天气预报都是晴（记为事件B）的结果有2 种，即（7
月1 日晴，7 月2 日晴）、（7 月5 日晴，7 月6 日晴），所以P（B）＝
23.下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加/km.
(1) 当速度为、时，该汽车的耗油量分别为_____L/km、____L/km.
(2) 求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式
(3) 速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
考点：函数图象，一次函数，二元一次方程组。
解析：（1）0.13，0.14．
（2）设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y＝kx＋b．
因为y＝kx＋b 的图像过点（30，0.15）与（60，0.12），所以
解方程组，得k＝－0.001，b＝0.18．
所以线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y＝－0.001x＋0.18．······5 分
（3）根据题意，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y＝0.12＋0.002(x－90)
＝0.002x－0.06．
由图像可知，B 是折线ABC 的最低点．
解方程组
因此，速度是 时，该汽车的耗油量最低，最低是 / km．········ 8 分
24.如图，在四边形ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使.
(1) 求证：
(2) 用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图痕迹，不写作法）。
考点：平行四边形的性质，两直线平行的性质，三角形的内角和，尺规作图。
解析：（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠CED＝∠BCF．
∵ ∠CED＋∠DCE＋∠D＝180°，∠BCF＋∠FBC＋∠F＝180°，
∴ ∠D＝180°－∠CED－∠DCE，∠F＝180°－∠BCF－∠FBC．
又∠DCE＝∠FBC，
∴ ∠D＝∠F． ······························································· 4 分
（2）图中P 就是所求作的点． ··································································· 7 分
25.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽，从O、A两处观测P处，仰角分别为，且，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 求点P的坐标
(2) 水面上升，水面宽多少（ 取1.41，结果精确到）？
考点：三角函数，二次函数。
解析：（1）如图，过点P 作PB⊥OA，垂足为B．设点P 的坐标为（x，y）．
在Rt△POB 中
（2）设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2＋bx．
由函数y＝ax2＋bx 的图像经过（4，0）、2
解方程组，得
这条抛物线表示的二次函数为
当水面上升 时，水面的纵坐标为1，即
解方程，得
因此，水面上升，水面宽约． ······························9 分
26.如图，O是△ABC内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC。连接DF、EG。
(1) 求证：AB=AC
(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.
考点：勾股定理，三角形的相似，矩形的性质，应用数学知识解决问题的能力。
解析：
（1）证明：∵ ⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，
∴ AD＝AE．
∴ ∠ADE＝∠AED．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．
∴ ∠B＝∠C．
∴ AB＝AC． ······································································ 4 分
（2）解：如图，连接AO，交DE 于点M，延长AO 交BC 于点N，连接OE、DG．
设⊙O 的半径为r．
∵ 四边形DFGE 是矩形，
∴ ∠DFG＝90°．
∴ DG 是⊙O 的直径．
∵ ⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，
∴ OD⊥AB，OE⊥AC．
又OD＝OE，
∴ AN 平分∠BAC．
又AB＝AC，
∴ AN⊥BC，BN＝BC＝6．
在Rt△ABN 中，AN＝＝8．
∵ OD⊥AB，AN⊥BC，
∴ ∠ADO＝∠ANB＝90°．
又∠OAD＝∠BAN，
∴ △AOD∽△ABN．
．
∵ OD⊥AB，
∴ ∠GDB＝∠ANB＝90°．
又∠B＝∠B，
∴ △GBD∽△ABN．
∴ 四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为·································· 8 分
27.如图，把函数y=x的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图像；也可以把函数y=x的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图像.类似地，我们可以认识其他函数.
(1)把函数的图像上各点的纵坐标变为原来的_____倍，横坐标不变，得到函数的图像；也可以把函数的图像上各点的横坐标变为原来的_____倍，纵坐标不变，得到函数的图像.
(2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变。
（i）函数的图像上所有的点经过④→②→①，得到函数_______的图像；
(ii)为了得到函数的图像，可以把函数的图像上所有的点
A.①→⑤→③ B.①→⑥→③ C.①→②→⑥ D.①→③→⑥
（3）函数的图像可以经过怎样的变化得到函数的图像？（写出一种即可）
考点：考查学生阅读能力，应用知识解决问题的能力。
解析：
解：（1）6，6． ······················································································ 4 分
（2）（ⅰ）y＝4(x－1) 2－2．
（ⅱ）D． ················································································· 8 分
（3）本题答案不惟一，下列解法供参考．例如，
先把函数y＝的图像上所有的点向左平移2 个单位长度，得到函数的图
像；再把函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，
得到函数的图像；最后把函数的图像上所有的点向下平移1
个单位长度，得到函数的图像．······································ 11 分