2016年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
1．（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
3．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1
4．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
6．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
8．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
9．函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
11．已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于 ．
12．旋转不改变图形的 和 ．
13．已知点P（3，﹣2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k= ；在第四象限，函数值y随x的增大而 ．
14．一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其他没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是 ．
三、解答题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
15．计算：20160+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+．
16．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
17．如图，已知AD=BC，AC=BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
18．已知一次函数y=2x+4
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出△AOB的面积；
（4）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
20．甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
21．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．
2016年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分
1．（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【考点】平方根．
【分析】直接利用有理数的乘方化简，进而利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵（﹣2）2=4，
∴4的平方根是：±2．
故选：C．
2．某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【考点】统计量的选择．
【分析】由于比赛取前19名参加决赛，共有39名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：39个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有19个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．
故选B．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；
C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；
D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；
故选：C．
4．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【考点】角平分线的性质．
【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
【解答】解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
6．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】根据解不等式得基本步骤依次去括号、移项、合并同类项求得不等式的解集，在解集内找到非负整数即可．
【解答】解：去括号，得：3x﹣3≤5﹣x，
移项、合并，得：4x≤8，
系数化为1，得：x≤2，
∴不等式的非负整数解有0、1、2这3个，
故选：C．
7．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据a＞0确定出二次函数开口向上，再将函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
∴函数图象开口向上，
∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故选A．
8．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．
9．函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【考点】解直角三角形．
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
11．已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于 cm ．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】设扇形的弧长为lcm，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设扇形的弧长为lcm，
∵扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，
∴l×6=10π，解得l=cm．
故答案为： cm．
12．旋转不改变图形的 形状 和 大小 ．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质（旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转前后图形全等，对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角）即可得出答案．
【解答】解：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，
故答案为：形状，大小．
13．已知点P（3，﹣2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k= ﹣6 ；在第四象限，函数值y随x的增大而 增大 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值结合反比例函数的性质即可得出其函数图象在每个象限内的增减性，由此即可得出结论．
【解答】解：∵点P（3，﹣2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=3×（﹣2）=﹣6．
∵k=﹣6＜0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，且在每个象限内均单增，
∴在第四象限，函数值y随x的增大而增大．
故答案为：﹣6；增大．
14．一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其他没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】先求出球的总数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，
∴球的总数=3+4+7+2=16，
∴摸到黑色球的概率=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
15．计算：20160+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式20160+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+的值是多少即可．
【解答】解：20160+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+
=1+2×|1﹣|﹣3+4
=1+2×+1
=1+1+1
=3．
16．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，
根据题意得：，
解得；；
答：笼子里鸡有18只，兔有12只．x_k_b_1
17．如图，已知AD=BC，AC=BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
【分析】（1）根据SSS定理推出全等即可；
（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边得出即可．
【解答】（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS）；
（2）解：OA=OB，
理由是：∵△ADB≌△BCA，
∴∠ABD=∠BAC，
∴OA=OB．
18．已知一次函数y=2x+4
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出△AOB的面积；
（4）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数的图象．
【分析】（1）利用两点法就可以画出函数图象；（2）利用函数解析式分别代入x=0与y=0的情况就可以求出交点坐标；（3）通过交点坐标就能求出面积；（4）观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论．
【解答】解：（1）当x=0时y=4，当y=0时，x=﹣2，则图象如图所示
（2）由上题可知A（﹣2，0）B（0，4），
（3）S△AOB=×2×4=4，
（4）x＜﹣2．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
【考点】直线与圆的位置关系；作图—复杂作图．
【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示，⊙P为所求的圆；
（2）BC与⊙P相切，理由为：
过P作PD⊥BC，交BC于点P，
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD=PA，
∵PA为⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
20．甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为： =．
21．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．
（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；
（3）当点P在y轴负半轴上时，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，根据条件可知∠PAD=45°，设PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的长，此时可求得PO=12，利用等腰三角形的性质，可知当P点在y轴正半轴上时，则有OP=12，从而可求得PC=5．
【解答】解：
（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+5；
（2）∵y=﹣x2+x+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，），
∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），
设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，
令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，
∵新抛物线的顶点M在△ABC内，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范围为0＜n＜3；
（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，
由题意可知OB=OC=5，
∴∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，
设PD=AD=m，则CD=AC+AD=+m，
∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴==，即==，
由=可求得m=，
∴=，解得PC=17；
可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，
如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，
则∠OP′A=∠OPA，
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，
∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，
综上可知PC的长为7或17．