2023年内蒙通辽初中学业水平考试
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：单词中共有10个字母，
其中出现了1次，
故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键．
3. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长．
【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到，
故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
5. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
6. 已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
即旋转角的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
8. 下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：①，故①是真命题；
②，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
9. 如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，
则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
10. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，
∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将四个点的一个坐标代入中可解答．
【详解】解：∵点，点，
∴轴，，
由旋转得：，
如图，过点B作轴于C，
∴，
∴，
∴），
设直线解析式为：，
则，
∴，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点不在直线上，
当时，，
∴直线上，
当时，
∴不在直线上，
当时，，
∴不在直线上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
12. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确．
∵当时，，
∴，故②错误．
∵抛物线与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴，
∴，故③正确；
设，，如图：
由图得，时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13. 已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数）求解即可．
【详解】解：由这组数据可知，数字5出现2次，出现次数最多，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查众数的定义，熟练掌握众数的概念是解题的关键．
14. 将一副三角尺如图所示放置，其中，则___________度．
【答案】105
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15. 点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．
16. 如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动___________s．
【答案】1
【解析】
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，
，
∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
17. 某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可．
【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图，
∵，分别与所在圆相切于点A，B．
∴，
∵，
∴，，
∴优弧对应的圆心角为，，
∵该圆半径是，
∴，
∴主视图的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则是解答本题的关键．
19. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）一 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
故第一步错误．
故答案为：一．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
20. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
【答案】B处距离灯塔P大约有．
【解析】
【分析】在中，求出的长，再在中，求出即可．
【详解】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得，，；
在中，
∵，
∴；
中，，
∵，
∴，
答：B处距离灯塔P大约有．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
21. 党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第个“世界读书日”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形A所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
【答案】（1）300 （2）
（3）320 （4）
【解析】
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“小时”中人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用扇形A的圆心角除以即可求得扇形A所占百分比；
（3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比，用总人数乘以百分比即可求得；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
在这次调查中一共抽查学生（人）， 即参与本次抽样调查的学生人数为300人．
【小问2详解】
扇形A所占百分比为，
即扇形A所占百分比为．
【小问3详解】
平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比为，
∴（人），
即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为320人．
小问4详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种， ∴《西游记》被选中的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．
22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
（1）如图1，当点M在上时，___________度；
（2）改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）30 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出；
（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出．
【小问1详解】
解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，．
∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴．
在中，，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
23. 如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）的半径为．
【解析】
【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；
（2）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【解析】
【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．
【小问1详解】
解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，
由题意可得：，
解得：
经检验，是分式方程的解
每台A型机器每天搬运吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
【小问2详解】
解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台
由题意可得：，
解得：，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，公司采购金额w有最小值，即，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．
25. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）的值为或．
【解析】
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
【小问3详解】
解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
【答案】（1）
（2）①②或
【解析】
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①设，过点作于点，求出，根据列出方程求出的值即可；
②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．
【小问1详解】
∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
①设，过点作于点，如图，
∴
∵
∴
∵轴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合题意，舍去）
∴
∴；
②设，
对于，当时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
∵点与点关于对称，
∴
∵轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
当点在第二象限时，如图，
同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
综上，四边形的周长为或．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．