内江市2023年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷
数学
本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至4页，满分100分；B卷5至6页，满分60分．全卷满分160分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项．
2．所有试题的答案必须按题考填写在答题卡相应的位置上，在试卷上、草稿纸上答题无效．
3．考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】6700000=6.7×106．
故选B．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得左边一列有2个正方形，中间与右边一列各有一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. 3a+4b＝7ab B. x12÷x6＝x6
C. （a+2）2＝a2+4 D. （ab3）3＝ab6
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断.
【详解】解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，所以此选项不正确；
B、x12÷x6＝x6，所以此选项正确；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，所以此选项不正确；
D、（ab3）3＝a3b9，所以此选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是关键．
6. 函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：中，，
，
故在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．
7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解．
【详解】解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95，
95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95；
这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93．
故选：D．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
8. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选Ｃ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
9. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．
【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，
由题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10. 如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
12. 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A. 199 B. 200 C. 201 D. 202
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 分解因式：x3﹣xy2=_____．
【答案】x（x+y）（x-y）
【解析】
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14. 若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是______．
【答案】．
【解析】
【分析】由圆心角为，半径为6的扇形求弧长=，可求圆锥底面圆周长：，解得，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理即可．
【详解】解：圆心角为，半径为6的扇形弧长=，
圆锥底面圆周长：，
解得，
如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，
由勾股定理，
这个圆锥的高是．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理，掌握扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理是解题关键．
16. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共5小题，共4分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
18. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
19. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角___________度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）200，补全条形统计图见解析
（2）54 （3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【解析】
【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：(人)，
C类型社团的人数为(人)，
补全条形统计图如图，
故答案为：200；
【小问2详解】
解：，
故答案为：54；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
20. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
【答案】的长为米
【解析】
【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论．
【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，
∵在中，，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
由题意，，，，，
∴为等腰直角三角形，，
设，则，
在中，，
∴，即：，
解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴的长为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
【答案】（1）反比例函数为：，一次函数为．
（2）
（3）9
【解析】
【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
（3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
【小问2详解】
由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得
不等式的解集为：．
【小问3详解】
∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
【点睛】本题考查是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
B卷
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22. 已知a、b是方程的两根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
23. 在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键．
24. 如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】作于点，于点，首先求出正方形的面积，然后根据等边三角形和正方形的性质求出和，从而求出和的面积，最后作差求解即可．
【详解】解：如图所示，作于点，于点，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方和等边三角形的性质，以及角所对的直角边是斜边的一半，掌握图形的基本性质，熟练运用相关性质是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设，由对称的性质知，，利用相似三角形的判定和性质求得，则，根据以及反比例函数的几何意义求解即可．
【详解】解：连接，
设对称轴与x轴交于点G，
∵与关于对称轴，
∴，，，
∵点A为的中点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）当时，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）证明，可推出，即可证明直线是的切线；
（2）证明，，得到，据此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【小问3详解】
解：∵是等边三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∵，，即，
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
27. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）1.2
【解析】
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可；
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可．
【小问1详解】
由题意列方程组为：，
解得；
【小问2详解】
设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，
∴当时，
；
当时，
；
综上所述，；
【小问3详解】
当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，
∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，
∴解得．
∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，的最大值为，
（3）或
【解析】
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
【小问3详解】
解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．