凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试
数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
A卷（共100分）
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. 下列各数中，为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
2. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．
【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握．
3. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变．
【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为，现在的平均数为，
原来的方差，
现在的方差，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别计算，即可得出正确答案．
【详解】解：A．，故该选项错误，不合题意；
B．，故该选项错误，不合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
5. 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客万人次．将数据万用科学记数法表示的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选D．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，
，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
8. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
9. 如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A、添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意；
B、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意；
C、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意；
D、添加，无法证明，故本选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10. 如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
11. 如图，在中，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
12. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. （为实数）
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故A中结论错误，不符合题意；
∵当时，，抛物线对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故B中结论错误，不符合题意；
∵当时，，抛物线对称轴为直线，
∴当时，，
∴，
又∵，
∴，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为，
∴，
∴，故D中结论错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共52分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 计算_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键．
14. 已知是完全平方式，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：．
15. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果．
【详解】解：在中，，，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质．
16. 不等式组的所有整数解的和是_________．
【答案】7
【解析】
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．
【详解】解：，
由①得：，
∴，
解得：；
由②得：，
整理得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：，，0，1，2，3，4；
∴，
故答案为：7
【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
17. 如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，，是边上的中线，
∴，
∴，
由翻折性质可知，，，
∴，
如图，记与的交点为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
20. 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
【答案】（1）600人
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；
（2）先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计图即可；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
【小问2详解】
解：由题意得，选择C景区的人数为人，选择A景区的人数占比为，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择的概率为．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键．
21. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．
（1）求两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）小型汽车从点行驶到点没有超速．
【解析】
【分析】（1）证明四边形为矩形，可得，结合，，，可得，，再利用线段的和差关系可得答案；
（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．
【小问1详解】
解：∵点、点到的距离分别为，
∴，，而，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可得：，，，
∴，，
∴
【小问2详解】
∵小型汽车从点行驶到点所用时间为．
∴汽车速度为，
∵该隧道限速80千米/小时，
∴，
∵，
∴小型汽车从点行驶到点没有超速．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键．
22. 如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证；
（2）可求，再证，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知，则的值等于_________．
【答案】2023
【解析】
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
24. 如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为．
【详解】解：如图所示，取的中点D，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【答案】（1）雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
（2）最多能购买雷波脐橙40千克．
【解析】
【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可．
【小问1详解】
解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，则
，
①+②得；，则③
把③代入①得：，
把③代入②得：，
∴方程组的解为：，
答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
【小问2详解】
设最多能购买雷波脐橙千克，则
，
∴，
解得：，
答：最多能购买雷波脐橙40千克．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键．
26. 阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出的值；
（3）求直线的解析式．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；
（2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；
（3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可．
【小问1详解】
将代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴设，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴应舍去，
∴，
∴，
∴将代入，解得；
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．
27. 如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）半径为3，的长为
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设的半径为，则，，在中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
弦，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，
设的半径为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
所以的半径为3，的长为．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键．
28. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①当时，有最大值，最大值为；②或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．