遂宁市2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试
数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知算式□的值为，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A. ＋ B. － C. × D. ÷
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数相加为0判断即可．
【详解】解：∵，
∴“□”内应填入的运算符号为＋，
故选：A．
【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项，同底数幂的乘法，依次进行判断即可得出结果．
【详解】解；A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查积的乘方、完全平方公式、合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
3. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．
4. 生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（ ）
A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 四棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图形状判定即可．
【详解】A. 正方体的三视图都是正方形，符合题意；
B.圆锥的主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；
C. 圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
D. 四棱锥主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
5. 《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意第一个等量关系为9枚黄金和11枚白银的重量相等列二元一次方程；再根据第二个等量关系为1枚黄金和10枚白银重量和比8枚黄金和1枚白银重量和大13列二元一次方程，即可得二元一次方程组.
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得，
.
故选：C.
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找出两个等量关系是列方程组的关键.
6. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
7. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可
【详解】解：由题意得，大圆面积为，
免一次作业对应区域的面积为，
∴投中“免一次作业”的概率是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．
8. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．
【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴交点位于负半轴，
∴，
∴，
故①正确；
由图象可知，，根据对称轴，得，
∴
∴，
故②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线的最大值为，
当时，其函数值为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③错误；
如图所示，和点满足，
∴和点关于对称轴对称，
∴,
∵,
∴,
解得，
故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】设一份为，则三个内角的度数分别为，，，然后根据三角形内角和进行求解即可．
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，
解得．
所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
12. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
13. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
14. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，根据基本作图，得到，利用平行四边形的性质，得，在中，利用勾股定理计算即可．
详解】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，
∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
15. 如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号)
【答案】①②④
【解析】
【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：①当时，是等边三角形，
∴
∴
∵等腰直角、，
∴
∴
∴；故①正确；
②∵等腰直角、，
∴，
∴
∴
∴；故②正确；
④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
又，
∴
又∵，
∴
同理得，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，即是的中点，故④正确，
∴，
设，则
在中，
在中，
∴
∴
解得：
∴，
∴，
∴
∴
在中，
∴,故③错误
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指数幂的运算公式是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将代入化简结果求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．
18. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）40，18，10
（2）162 （3）
【解析】
【分析】（1）根据A类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、n的值；
（2）用乘B类人数占比即可求解；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：(名)，
，
，
故答案为：40，18，10；
【小问2详解】
解：，
故答案为：162；
【小问3详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
19. 如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：；
（2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明即可；
（2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可．
【小问1详解】
证明：∵点O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，即，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．
20. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
（1）求的值；
（2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）10； （2）且．
【解析】
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【解析】
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
【小问2详解】
解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22. 某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
【答案】米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米
【解析】
【分析】填入数据米．作于点D，在和中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）当填入米时：
已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．
解：作于点D，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
（2）当填入米时：
已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．
解：作于点D，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图像直接写出不等式的解集；
（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，根据关系列方程，然后解方程即可得解．
【小问1详解】
解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为；
【小问3详解】
如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求解析式、利用图像解不等式等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
24. 如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）连接，，根据圆心角，弦，弧的关系可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，半径相等可得，根据等腰的判定可得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据平行线的判定和性质可得，即可证明；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求证；
（3）令与交于点，根据正弦的定义可求得，，根据勾股定理可求得，，根据矩形的判定和性质可得,，根据相似三角形的判定和性质可求得,即可求得．
【小问1详解】
连接，，如图：
∵，
∴，
∵四边形内接于，为的直径，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
即是的切线；
【小问2详解】
连接，如图：
∵
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴；
【小问3详解】
令与交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，，，
∴四边形矩形，
∴,
∴
∵，
∴，
∴
即，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了圆心角，弦，弧的关系，直径所对的圆周角是90度，圆内接四边形的性质，等腰的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行线的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当时，求点的坐标；
（3）如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2），过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中点在抛物线对称轴的左侧．
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
【小问3详解】
解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．