2023年天津市初中学业水平考试试卷
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页，试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键．
2. 估计的值应在 （）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之
【答案】B
【解析】
【分析】由于4＜6＜9，于是，从而有．
【详解】解：∵4＜6＜9，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 全 B. 面 C. 发 D. 展
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的定义判断即可；
【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全；
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键．
5. 据年月日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到人次，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
6. 的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．
【详解】解 ：，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
7. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
9. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
11. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．
14. 计算的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
15. 计算的结果为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．
【详解】解：直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：．
平移后经过，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
17. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．
（1）的面积为________；
（2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积；
（2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】解：（1）过点E作，
正方形的边长为3，
，
是等腰三角形，，，
，
在中，，
,
故答案为：3；
（2）延长交于点K，
正方形的边长为3，
，，
，，
，
，
，
F为的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为________；
（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．
【答案】（1）
（2）画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
【解析】
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；
（2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论．
【小问1详解】
解：；
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，
由图可得：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，即，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得________________；
（2）解不等式②，得________________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为________________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可．
【小问1详解】
解：解不等式①，得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：解不等式②，得，
故答案为：；
【小问3详解】
解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
解：原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
20. 为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为________，图①中的值为________；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1），；
（2）平均数是，众数是，中位数是．
【解析】
【分析】（1）根据条形图求出各组数据总和可得到，再根据百分比的定义求m即可；
（2）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；
【小问1详解】
解：由题意，，
岁学生所占百分比为：，
故答案为：，；
【小问2详解】
观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数是．
∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是．
∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是，有，
∴这组数据的中位数是．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决问题的关键．
21. 在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．
（1）如图①，求和的大小；
（2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出；
（2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，半径垂直于弦，
∴，得．
∵，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接．
同（1）得．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
∵与相切于点E，
∴，即．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．
22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求的长；
（2）设塔的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；
②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
即的长为．
【小问2详解】
解：①在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
23. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________；
③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①0.12，1.2，0.6；②0.06；③；
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可．
【小问1详解】
①，
由图填表：
故答案为：0.12，1.2，0.6；
②张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：0.06；
当时，
；
当时，设y与x的函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴；
综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为；
【小问2详解】
当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，
∴
解得，
当时，，
所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点．
（1）填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
（2）将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．
①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），．
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；
（2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，且，
∴，
∴；
连接，交于一点H，如图所示：
∵四边形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴，
故答案为，；
【小问2详解】
解：①∵点，点，点，
∴矩形中，轴，轴，．
∴矩形中，轴，轴，．
由点，点，得．
在中，，得．
在中，由，得．
∴．同理，得．
∵，得．
又，
∴，
当时，则矩形和菱形重叠部分为，
∴的取值范围是．
②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，
∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：
此时面积S最大，最大值为；
当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：
由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为，
由①可知：，
∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为，
∴此时面积S最小，最小值为；
综上所述：当时，则．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键．
25. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
（1）若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；
②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；
（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：①由，得抛物线的解析式为．
∵，
∴点的坐标为．
当时，．解得．又点在点的左侧，
∴点的坐标为．
②过点作轴于点，与直线相交于点．
∵点，点，
∴．可得中，．
∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．
得．即点．
∴．
中，可得．
∴．又，
得．即．解得(舍)．
∴点坐标为．
【小问2详解】
∵点在抛物线上，其中，
∴．得．
∴抛物线的解析式为．
得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，
∴．
即．解得(舍)．
∴点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．