宁夏回族自治区2023年初中学业水平考试数学试题
注意事项：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
2. 下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方法则，是解题的关键．
4. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息．
5. 估计的值应在（ ）
A. 和4之间 B. 4和之间
C. 和5之间 D. 5和之间
【答案】C
【解析】
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】∵，
∴，排除A和D，
又∵23更接近25，
∴更接近5，
∴在和5之间，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 随的增大而增大
B.
C. 当时，
D. 关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
8. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于；
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同分母分式加法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的加法，题目较为基础．
10. 如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据正方形的，，边长为2，阴影部分面积等于与面积的和，运用三角形面积公式，即可求解．
【详解】∵四边形为正方形，
∴，，
∵正方形的边长为2，
∴
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正方形，三角形面积．熟练掌握正方形的边角性质，三角形面积公式，是解题的关键．
11. 方程有两个相等的实数根，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
12. 如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用列表法求概率即可．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中和为4有2种等可能的结果，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法，是解题的关键．
13. 如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
14. 如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
15. 如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
由表中数据的规律可知，当克时，________毫米．
【答案】50
【解析】
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可．
【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为，
当时，，
故答案为：50．
【点睛】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键．
16. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：
①点与点关于点中心对称；
②连接，，，则平分；
③连接，则点，到线段的距离相等．
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据描述，作图，逐一进行判断即可；
【详解】解：①如图：
点与点关于点中心对称；故①正确；
②如图：
由图可知：，
∴为等腰三角形，
∵经过的中点，
∴平分，故②正确；
③如图，点到的距离为，点到的距离为，
∴，
∴点，到线段的距离相等，故③正确；
综上，正确的有①②③；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点．
三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，在按照运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，实数的混合运算．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则，正确的进行计算．
18. 解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，
【解析】
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
19. 如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
【详解】证明：，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键．
20. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）最多购进型玩具个
【解析】
【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量
【小问2详解】
设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
21. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
（2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】（1）气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解析】
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【小问1详解】
设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
【小问2详解】
由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
22. 如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
【答案】粮袋上升的高度是cm
【解析】
【分析】先求出粮袋移动的距离，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，
则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【点睛】本题考查求弧长，含30度的直角三角形．解题的关键是掌握粮袋移动的距离为大轮转动的距离．
23. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_______，________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85，87，七；
（2）220 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
【小问2详解】
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
【小问3详解】
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
24. 如图，已知是直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，证明，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出即可；
（2）连接，过点O作于F，证明，根据正切的定义列式求出，再根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵直线是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
【小问2详解】
解：连接，过点O作于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形以及勾股定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）点，的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【小问1详解】
解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
【小问2详解】
当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
【小问3详解】
过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
26. 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现
如图1，在中，，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用：
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；
（2）证明，利用相似比进行求解即可得出；
拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵将折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
拓展应用：
如图，连接，延长至点，使，连接，
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为．