泰安市2023年初中学业水平考试数学试题
一、选择题
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿年年年，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，即可得到答案．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握概念是解题关键．
5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
6. 为了解学生身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A. 这组数据的众数是 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的方差是
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解．
【详解】解：、这组数据中出现次数最多的是，故众数是，正确，不符合题意；
、这组数据重新排序为：，，，，，， ， ， ，，故中位数是，错误，符合题意；
、这组数据平均数是，故平均数是，正确，不符合题意；
、这组数据的平均数是，方差是，故方差是，正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握众数的概念，中位数，平均数，方差的计算方法是解题的关键．
7. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
8. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
9. 如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量11枚白银的重量；②（10枚白银的重量枚黄金的重量）（1枚白银的重量枚黄金的重量）两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得， ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
11. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
14. 为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是_______．（精确到．参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切，所以为的角平分线，，同时由切线的性质得到，在中，，求出，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，如下图所示：
∵分别为圆O的切线，
∴为的角平分线，即，
又∵,
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
则这张光盘的半径为；
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
15. 二次函数的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
二次函数开口向下，
顶点处取最大值，
即当时，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．
16. 在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为_______．（精确到．参考数据：）
【答案】55
【解析】
【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：55．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
17. 如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键．
18. 已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，
∵
∴
∴,
同理：
∴为偶数，为奇数；
∵，2023为奇数
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．
三、解答题
19. （1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
20. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【答案】（1）200，108
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；
（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：名，
∴本次竞赛共有200名选手获奖，
∴C级的人数为名，
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是度，
故答案为：200，108；
【小问2详解】
解：B级的人数为名，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图，画出树状图或列出表格是解题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）观察图象特点，即可得出取值范围；
（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长．
【小问1详解】
∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
如图，在第二象限内，当时，，
【小问3详解】
如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量的取值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
22. 为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】这个学校九年级学生有300人．
【解析】
【分析】设零售价为x元，批发价为y，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答．
【详解】解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
，解得：，
则学校九年级学生人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键．
23. 如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明，，由此即可证明得到，进而推出，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由（1）的结论可得，进一步证明，再证明，即可证明．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形于折叠问题，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24. 如图，、是两个等腰直角三角形，．
（1）当时，求；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】（1）先证明，再证明是线段的垂直平分线，即有，即是等边三角形，问题得解；
（2）根据垂直可得，又根据，可得，即可证明；
（3）过H点作于点K，先表示出，根据是线段的垂直平分线，可得，即可得，进而可得，则有，结合，，可得，再证明，即可证明．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是两个等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴；
【小问2详解】
在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
过H点作于点K，如图，
∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在（1）中已证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．
25. 如图1，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；
（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）正确，
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线解析式，然后通过设点坐标，并表示对应点坐标，从而利用“割补法”计算的面积表达式并建立方程求解即可；
（3）首先连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，根据已知信息求出，然后推出，从而在中求出，确定出点坐标，再求出直线解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点的坐标即可．
【小问1详解】
解：将代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：由抛物线可知，其对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将，代入解得：，
∴直线解析式为：，
此时，如图所示，作轴，交于点，
∵点P在二次函数对称轴上，
∴设，则，
∴，
∴，
∵要使得面积为5，
∴，解得：或，
∴的坐标为或；
【小问3详解】
解：正确，，理由如下：
如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，
由（1）、（2）可得，，
∴，，
根据抛物线的对称性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将、代入解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得：或（不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键．