2023年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
2. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的相反数是进行求解．
【详解】的相反数是，
故选：．
【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，解题的关键是能准确理解并运用以上知识．
3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4. 中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
5. 如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平移的性质得，点，再由旋转的性质得点与关于原点对称，即可得出结论．
【详解】解：如图，
由题意可知，点，，
由平移性质得：，点，
由旋转性质得：点与关于原点对称，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
6. 如图，直线，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
9. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
【详解】解：连接，，
∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形是矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
10. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12. 小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是______分．
【答案】3
【解析】
【分析】根据极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差直接判断即可得到答案；
【详解】解：由数据得，
极差为：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差，理解极差的定义是解题关键．
13. 反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．
14. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为元．
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数．
【详解】解：点，，
，
过原点，
为的半径，
为的切线，
，，
在中，，，，
，
，
，
又，
三角形为等边三角形，
，
即的度数为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键．
16. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是______．（只填写序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
①正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
②错误，③正确．
，，
．
④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）
17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18. 解不等式组或计算
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）分别解不等式，在根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解直接求解即可得到答案；
（2）先通分，再因式分解约分化简即可得到答案．
【小问1详解】
解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：；
【小问2详解】
解：原式
；
【点睛】本题考查解不等式组及分式化简，解题的关键是熟练掌握同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解．
19. 今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
（4）小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因．
【答案】（1）图见详解；
（2）；
（3）小明班级的平均成绩为分；
（4）小明同学抽样的样本不具有随机性，不符合取样要求；
【解析】
【分析】（1）根据直方图与扇形统计图共同有的量C组数据计算出样本即可得到答案；
（2）利用乘以A组的占比即可得到答案；
（3）利用加权平均数公式求解即可得到答案；
（4）根据抽样的要求分析即可得到答案；
【小问1详解】
解：由图形可得，
样本为：（人），
∴B的人数为：（人），
∴频数分布直方图如图所示：
；
【小问2详解】
解：由（1）得，
扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由题意可得，
小明班级的平均成绩为：（分），
答：小明班级的平均成绩为分；
【小问4详解】
解：由题意可得，
小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本不具有随机性，不符合取样要求．
【点睛】本题考查数据统计分析，解题的关键是根据直方图与扇形统计图中共有的量得到样本容量．
20. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
所以抽取两本书中有《九章算术》概率为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出再从中选出符合事件或的结果数目然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
21. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，
依题意得：，，，
又
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
检验：是原方程的根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
22. 如图①，正方形的面积为1．
（1）如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______；
（2）如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______；
（3）延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的面积为1则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可；
（2）与（1）相似，由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可；
（3）由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵正方形的面积为1，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
∵正方形的面积为1，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5；
【小问3详解】
∵正方形的面积为1，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键．
23. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】（1）2880元
（2）①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；
（2）①根据条件，可列，整理即可；
②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可．
【小问1详解】
解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
全部售完获利（元）．
【小问2详解】
①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即，
，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，，
，一次函数随的增大而减小，
当时，取最大值，（元），
，
服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
24. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．
（1）求证：；
（2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵和的平分线、分别交、于点E、F，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点G、H分别为、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∵，G为的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
25. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）2或4；
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案；
（2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
小问2详解】
解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．
26. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当点M在上时，求t的值；
（2）连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）；最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解；
（2）由 即可求解；
（3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解．
【小问1详解】
∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，
∵，，，
∴，
∴，
则 即
解得：
【小问2详解】
如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
【小问3详解】
存在， 理由∶
如下图， 过点作于点，
当点在的平分线上时，则
，
在中，
，
解得：
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定等，综合性强，难度适中．