数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的相反数是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A. 2，2，4 B. 1，2，3 C. 3，4，5 D. 3，4，8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；
D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
4. 已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A 89 B. 94 C. 95 D. 98
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．
【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为89，92，95，96，98，
则其中位数是95，
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．
5. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：等腰三角形有一个内角为，
∴这个等腰三角形的底角是，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．
6. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可；
【详解】由题意可列出方程，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
7. 在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
8. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：
根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，
当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
10. 港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：55000共有5位数，从而用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
11. 分解因式：___．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式即可
【详解】解：．
故答案为: .
12. 不等式的最大整数解是________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式的解集是，
则不等式的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
13. 七边形的内角和是______．
【答案】
【解析】
【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案．
【详解】解：七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°．
故答案为：900°．
【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记n边形的内角和公式是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标计算即可；
【详解】根据关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数可得：点关于轴对称的点的坐标是；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键．
15. 若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是2，
∴底面圆周长是，即展开后的扇形弧长是，
根据弧长公式：，
得，解得，即该圆锥的母线长是6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇形的关系．
16. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
，
，
又点是的中点，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．
17. 若实数m满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．
18. 如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式加减运算，涉及去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
21. 如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
22. 为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．
学生参加周末活动人数统计表
请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）扇形统计图中A对应的圆心角是________度；
（3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．
【答案】（1）24，62
（2）72 （3）估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名
【解析】
【分析】（1）先根据的扇形统计图和统计表信息可求出抽取调查的学生总人数，再根据的扇形统计图可求出的值，然后利用抽取调查的学生总人数减去其他活动的人数可得的值；
（2）利用乘以的学生人数所占百分比即可得；
（3）利用该校九年级的学生总人数乘以周末参加家务劳动的学生人数所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：抽取调查的学生总人数为（人），
则（人），
（人），
故答案为：24，62．
【小问2详解】
解：，
即扇形统计图中对应的圆心角是72度，
故答案为：72．
【小问3详解】
解：（名），
答：估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名．
【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
23. 某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是________；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有等可能的结果数，找出选中1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：只选1名选手参加比赛，女生D入选的概率
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为如下：
共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的有12种，，，，，，，，，，，，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数，然后根据概率公式计算事件的概率．
24. 如图，在中，，，．
（1）求出对角线的长；
（2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；
（2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案．
【小问1详解】
解：连接，过作于，如图所示：
在中，，，
，
，
，
在中，，，，则；
【小问2详解】
解：如图所示：
【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．
25. （1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．
从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2）
【解析】
【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证；
（2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
与相切，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
26. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
（1）求两种商品的销售单价．
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）的销售单价为元、的销售单价为元
（2）当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
【小问2详解】
解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
27. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展]
【解析】
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由题意得：，
，
，，
设，，则，，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
同【问题背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信号塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
28. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【答案】（1）② （2）；、
（3）
【解析】
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：作出；；；图像，如图所示：
与图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
【小问2详解】
解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、；
【小问3详解】
解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：
联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，
，
由得到，即．
【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．