海南省2023年初中学业水平考试数学
（全卷满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，
的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
2. 若代数式的值为7，则x等于（ ）
A. 9 B. C. 5 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出，然后解方程即可．
【详解】解：∵代数式的值为7，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出．
3. 共享开放机遇，共创美好生活．2023年4月10日至15日，第三届中国品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超32万人次，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：
这个几何体的俯视图是： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则计算判断A，根据幂的乘方法则计算判断B，然后根据积的乘方法则计算判断B，最后根据合并同类项的法则计算判断D．
【详解】因为，
所以A正确；
因为，
所以B不正确；
因为，
所以C不正确；
因为，
所以D不正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
6. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 9，8 B. 9，9 C. 8.5，9 D. 8，9
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可．
【详解】解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9；
从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位线是8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，解题的关键是熟练掌握将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值．如果一组数据有偶数个，那么中位数就是处于中间位置的两个数的平均值．
7. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到的值，再检验即可得到答案．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验，当时，，
原分式方程的解是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．
8. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点，
∴，
解得，
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键．
9. 如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可．
【详解】延长交直线n于点D，如图所示．
∵，
∴．
在中，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键．
10. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
12. 如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A. 6 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．
14. 设为正整数，若，则的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】先估算出的范围，即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，能估算出的大小是解题的关键．
15. 如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则________度．
【答案】100
【解析】
【分析】由切线的性质可得，则，通过计算可得，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：为的直径，是的切线，
，
，
，
，
，
故答案：100．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键．
16. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则______．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过作交延长线于点，证明，得到即可求解；过作交于点，交于点，证明，得到，故点运动轨迹是一条平行于的线段，当点与重合时，，当点与重合时，由得到，即，从而求解．
【详解】解：过作交延长线于点
则四边形为矩形，
∴
由题意可得：
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
过作交于点，交于点，如下图
∵，
∴
在和中
∴
∴，
故点的运动轨迹是一条平行于的线段，
当点与重合时，
当点与重合时，，
∴
∵
∴
∴，即
解得
∵、分别为、的中点
∴是的中位线
∴，即点运动的路径长为
故答案为：，
【点睛】本题考查了正方形的性质，点的轨迹，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关基础性质，确定出点的轨迹，正确求出线段．
三、解答题（本大题满分72分）
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据乘方，负整指数，绝对值以及算术平方根的运算求解即可；
（2）求得每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：（1）；
（2）
解不等式①可得：
解不等式②可得：
则不等式组的解集为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的求解，负整指数幂，乘方，绝对值以及算术平方根的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
18. 2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？
【答案】甲型号客车租辆，乙型号客车租辆
【解析】
【分析】设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案．
【详解】解：设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，
由题意得：，
解得：，
答：甲型号客车租辆，乙型号客车租辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键．
19. 某中学为了了解学生最喜欢课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：
根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ；
（3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ；
（4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人．
【答案】（1）抽样调查
（2）200，22 （3）
（4）350
【解析】
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出答案；
（2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值；
（3）根据概率公式求解即可；
（4）用1000乘以选择“文学”类的百分比即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：
本次调查采用的调查方式为：抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
解：根据题意得：
在这次调查中，抽取的学生一共有：（人），
扇形统计图中的值为：，
故答案为：200，22；
【小问3详解】
解：恰好抽到女生的概率是：，
故答案为：；
【小问4详解】
解：根据题意得：
选择“文学”类课外活动的学生有：（人），
故答案为：350．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查、条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率、由样本估计总体，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键．
20. 如图，一艘轮船在处测得灯塔位于北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．
（1）填空： 度， 度；
（2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；
（3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）30，45
（2）灯塔到轮船航线的距离为海里
（3）港口与灯塔的距离为海里
【解析】
【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解；
（2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可；
（3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，作交于，作交于，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
【小问2详解】
解：如图，作交于，作交于，
，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
【小问3详解】
解：如图，作交于，作交于，
，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
21. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点，，，点为线段上的动点（不与点，重合），连接并延长交边于点，交的延长线于点．
（1）当点恰好为的中点时，求证：；
（2）求线段的长；
（3）当为直角三角形时，求的值；
（4）如图2，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，在点的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2 （4）的度数是定值，
【解析】
【分析】（1）由“”可证；
（2）由菱形的性质可得，，，，再由直角三角形的性质可求解；
（3）由直角三角形的性质可求、的长，由等腰三角形的判定与性质可求的长，通过证明，可得，即可求解；
（4）先证点、点、点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点、点、点、点四点共圆，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：为直角三角形，
，
，
四边形是菱形，
，，，，
，
，即，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问4详解】
解：的度数是定值，
如图，取的中点，连接、、，
，
是的垂直平分线，
，，
，
点是的中点，，
，
四边形是菱形，
，，，
点是的中点，，
，
点、点、点三点共线，
点是的中点，，
，
，
，
，
点、点、点、点四点共圆，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22. 如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
【答案】（1）
（2）9 （3）在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或
（4）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）当为矩形的边时，画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；当为对角线时，画出相应的图形，求出结果即可；
（4）利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线、的解析式，进而求得点I、G的坐标，利用点的坐标表示出线段、的长度，即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
【小问3详解】
解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此时点Q的坐标为：．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或；
【小问4详解】
证明：∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线，
设，直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴点D是线段的中点．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．