2023年湖北省宜昌市初中学业水平考试
数学试题
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计33分．）
1. 下列运算正确的个数是（ ）．
①；②；③；④．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，、，进行逐一计算即可．
【详解】解：①，，故此项正确；
②，，故此项正确；
③，此项正确；
④，故此项正确；
正确的个数是个．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. “五一”假期，宜昌旅游市场接待游客万人次，实现旅游总收入亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，表示一个的数的方法：从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是，据此即可求解．
【详解】解：亿，
从右往左数到最后一个非“”数字是，小数点共移动了个位数，
亿．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，掌握定义并会表示一个具体较大的数是解题的关键．
4. “争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．
A. 文 B. 明 C. 典 D. 范
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“城”字对面的字是“明”，
故选：B.
【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键．
5. 如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
【详解】解：∵
∴点为的中点，
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
6. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
8. 如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
9. 在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
A. 左上角的数字为 B. 左下角的数字为
C. 右下角的数字为 D. 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【解析】
【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
10. 解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解．
【详解】解：
，
解集在数轴上表示为
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关键．
11. 某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用,据此列分式方程求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，骑车学生的速度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）
12. 如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
13. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．
【答案】10
【解析】
【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键．
14. 已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
原式．
故答案：．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
15. 如图，条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况．这些工人日加工零件数的中位数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将这组数据按从小到大的顺序排列，数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，数据的个数为偶数时，中间两个数的平均数即可求解.
【详解】解：由图得：工人人数为，
将这组数据按从小到大的顺序排列后，中间的两个数为第、个数，
第、个数都是，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了中位数的定义，理解定义是解题的关键．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】先利用分式除法法则对原式进行化简，再把代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的除法运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．
17. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
（2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：的度数为_________．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；
（2）根据题目叙述画出图形即可；
（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得．
【小问1详解】
在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图；
【小问2详解】
画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示：
【小问3详解】
由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，
再根据对称的性质可得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．
18. 某食用油沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】（1）一次 （2）
（3）当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为
【解析】
【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可．
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入函数关系式，求出函数值即可．
【小问1详解】
由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，
故可知可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
【小问2详解】
设这个一次函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为；
【小问3详解】
当时，
答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为．
【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
19. 2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，．
（参考数据：）
（1）求的值（精确到）；
（2）在中，求的长（结果取整数）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦函数即可求解；
（2）先求得的度数，再利用弧长公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
，
，
在中，；
【小问2详解】
解：，
，
的长为
．
【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
（1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
【答案】（1）80，32
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
【小问2详解】
在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：
【小问3详解】
由题意得，（人），
即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人；
【小问4详解】
树状图如下：
从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．
21. 如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
（1）填空：的度数是_________，的长为_________；
（2）求的面积；
（3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
【答案】（1），5；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可；
（2）由面积法求出，再利用勾股定理求，则的面积可求；
（3）先证明，得到，利用，分别得到，进而计算，，在分别求出则问题可解；
【小问1详解】
解：∵是的直径，是的切线，
∴的度数是；
∵，
∴；
故答案为：，5；
【小问2详解】
如图，
∵是的直径，
∴，
，
∴由面积法，
∴
，
；
【小问3详解】
方法一：如图，
由
∴
∴
∴
∴
∴
设
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形
，
∴，
∴，
，
，
，
．
方法二：如图
由
设
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质解答问题．
22. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
（2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②
【解析】
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；
②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【小问1详解】
解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，
依题意得，
解得；
则；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
【小问2详解】
解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得，解得，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得，
解得或，
，
∴，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
23. 如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．
（1）若正方形的边长为2，E是的中点．
①如图1，当时，求证：；
②如图2，当时，求的长；
（2）如图3，延长，交于点G，当时，求证：．
【答案】（1）①详见解析；②
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）①由，证明，可得结论；②如图，延长，交于点G作，垂足为H，证明，可得，可得，设可得，可得，可得，证明，可得，从而可得答案；
（2）如图，延长，作，垂足为H，证明，设，可得，由，可得，可得，由可得，可得，证明，可得，，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，
正方形中，，
①，
∴，
，
，
②如图，
延长，交于点G，
作，垂足为H，
且，
，
，
，
，
方法一：设，
∴，
∴，
在中，，
，
，
方法二：在中，由，设，
，
，
，
又且，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图
延长，作，垂足为H，
且，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，则，
又且，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高，熟练的利用参数建立方程是解本题的关键．
24. 如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．
（1）直接判断的形状：是_________三角形；
（2）求证：；
（3）直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线．
①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；
②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；
③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标．
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）详见解析 （3）①；②；③
【解析】
分析】（1）由得到，又由，即可得到结论；
（2）由，得到，又有，，利用即可证明；
（3）①求出直线的解析式和抛物线的解析式，联立得，由即可得到t的值；
②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线的顶点，将顶点代入得到，解得,根据即可得到t的值；
③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，先证明，则，设,由得到,则,求得,得到，由抛物线再向下平移个单位，得到抛物线,把代入抛物线,得到,解得,由，得,即可得到点D的坐标．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形
【小问2详解】
如图，
∵，，
，
，
∵，
；
【小问3详解】
①设直线的解析式为，
，
∴，
，
将代入抛物线得，
，
解得，
，
直线与抛物线有唯一交点
∴联立解析式组成方程组解得
②∵抛物线向左平移2个单位得到，
∴抛物线，
抛物线的顶点，
将顶点代入，
，解得,
∵，
；
③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的解析式为，
∴设,
∴，
轴,
∴,
∴，
,
,
,
∴，，
,
抛物线再向下平移个单位，得到抛物线，
∴抛物线
代入抛物线,
,
解得,
由，得,
∴，
．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．