荆州市2023年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．
3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1. 在实数，，，中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 3.14
2. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则与最接近的整数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）
A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差
C. 这组数据众数 D. 这组数据的中位数
7. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，一条公路转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若，则___________．
12. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．
13. 某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有___________人参与A类运动最多．
14. 如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．
15. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为___________．（，结果精确到0.1）
16. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
19. 如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．
20. 首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________；
（2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
21. 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：
①是的切线；
②；
（2）若，，求．
22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
23. 如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
（1）如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
24. 已知：关于的函数．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．