2023年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个有理数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用有理数比较大小方法进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴最小的数是．
故选：B
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，正确掌握比较方法是解题关键．
2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
无法合并同类项，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．
4. 襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件
【答案】C
【解析】
【分析】随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件．
【详解】解：明天襄阳某地下雨这一事件随机事件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件概念是解题的关键．
5. 五边形的外角和等于（）
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【详解】解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
6. 将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
∵，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
7. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案．
【详解】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是，
故选：D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提．
8. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A. 平分 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
【详解】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
9. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．
【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
11. 5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数．
【详解】解：2270000用科学记数法表示为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
12. 古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是____．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据概率公式进行解答即可．
【详解】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是．
故答案为：
【点睛】此题考查了概率，熟练掌握求简单事件概率是解题的关键．
13. 点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内，随的增大而减小，即可得到答案．
【详解】解：，
在同一象限内，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键．
14. 如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_____度．
【答案】140
【解析】
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴，
∴°．
故答案为：140．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键．
15. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是_____（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
【答案】①
【解析】
【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．
【详解】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键．
16. 如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．
∵，为的中点，
∴，，．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，则于点，
设，由折叠可知则，
∵，
∴，，
又由折叠得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
由折叠知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在 中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法换成乘法，即可求解；
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是______；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是_______；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）八 （5）该年级成绩不低于分的学生约有人；
【解析】
【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案；
（2）利用总数减去其它频数即可得到答案；
（3）找到最中间两个数求平均即可得到答案；
（4）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案；
（5）利用总人数乘以符合的频率即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴C组的频数是；
【小问3详解】
解：∵，，
∴中位数落在D组上，
∴ ，两个数是：，，
∴中位数：；
【小问4详解】
解：∵，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
【小问5详解】
解：由题意可得，
（人），
答：该年级成绩不低于分的学生约有人；
【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用频率估算，解题的关键是熟练掌握几个定义．
19. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）
【答案】铜像的高度是；
【解析】
【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．
20. 如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可；
（2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键．
21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【小问1详解】
解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
22. 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论；
（2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，过点作于点，
，是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点作于点，
点为的圆心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
23. 在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
【答案】（1）的值为3，的值为2
（2）
（3）0.5
【解析】
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【小问1详解】
解：根据表格可得：，
解得：，
∴的值为3，的值为2；
【小问2详解】
当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
∴；
【小问3详解】
设降价后获得肉串的总利润为元，令，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
∴，
即，
解得：，
∴的最大值是0.5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．
24. 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：______；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3
【解析】
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可；
（2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案；
（3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴，
故答案为：1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2），理由如下：
过点作交于，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）过点作交于，作于，作于，
则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则，，，
∴，
∴．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值
（2）的取值范围为或
【解析】
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；
③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【小问1详解】
∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵直线：经过点、，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．