2023年湘潭市初中学业水平考试
数学试题卷
考试时量：120分钟 满分：120分
考生注意：
本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；
将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
4. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ）
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，她的最后得分为分，
故选：B．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．
5. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴，
∴，
∵，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．
6. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
【详解】解：轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
7. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．
【详解】解：依题意，的长，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．
8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，
根据题意列方程：，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
9. 下列选项中正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据零次幂可判断A，根据绝对值的意义可判断B，化简多重符号可判断C，根据二次根式的性质可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A符合题意，
，故B符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选ABC
【点睛】本题考查的是零次幂的含义，绝对值的含义，化简多重符号，二次根式的性质，熟记运算法则是解本题的关键．
10. 2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：
则下列说法正确的是（ ）
A. 样本容量为50 B. 成绩在米的人数最多
C. 扇形图中C类对应圆心角为 D. 成绩在米的频率为0.1
【答案】AC
【解析】
【分析】结合扇形统计图和统计表格，对选项逐一判断，即可解答．
【详解】解：样本容量为，故A正确；
根据统计表，可得成绩在米的人数最多，故B错误；
扇形图中C类对应的圆心角为，故C正确；
根据统计表，可得成绩在米的频率为，故D错误，
故选：AC．
【点睛】本题考查了扇形统计图和统计表的结合，能通过统计表格准确地得到所需数据是解题的关键．
11. 如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据是的直径，可得，根据是的切线，可得，根据，可得是等腰直角三角形，进而可得，即可判断A，B，D选项，根据是直角三角形，是斜边，则，即可判断C选项．
【详解】解：∵是的直径，
∴，故A选项正确，
∵是的切线，
∴，
∴，故B选项正确，
∵
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，故D选项正确
∵是直角三角形，是斜边，则，故C选项错误，
故选：ABD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12. 如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；时函数值的情况，可判断选项D．
【详解】解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，故，故A错误；
B、图象与y轴的交点在原点上方，故，故B正确；
C、因为抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误．
D、当时，，故D正确；
故选：BD．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
13. 数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有__________．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解．
【详解】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数，
则，
∵，即，
∴a可以是或或0．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键．
14. 已知实数a，b满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由非负数的性质可得且，求解a，b的值，再代入计算即可．
详解】解：∵，
∴且，
解得：，；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键．
15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）
17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为：．画图见解析
【解析】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．
19. 在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
【小问2详解】
∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列举出所有可能结果；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
【小问2详解】
解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
分析数据：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）__________，并补全频数直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则__________，__________；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）1；频数直方图见解析
（2）4；7 （3）1400人
【解析】
【分析】（1）用被调查的总人数减去其余两个时间段的人数，补全频数直方图即可；
（2）通过（1）可得在家做家务时间段为有1人，故，则，利用众数为4，可知，再利用平均数求得即可；
（3）用2000乘调查的学生中劳动时间不少于3小时的人数的占比，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意，可得，
故答案为：1，
补全频数直方图，如图所示：
【小问2详解】
解：在家做家务时间段为有1人，且，
，
观察数据，可得在家做家务时间段为的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故，
众数为4，在已知数据中在家做家务时间为和的各有2人，
，
根据平均数，可得方程，
解得，
故答案为：4；7；
【小问3详解】
解：（人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．
【点睛】本题考查了频数直方图，平均数的概念，众数的概念，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键．
22. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【答案】（1）；
（2）该商店继续购进了件航天模型玩具．
【解析】
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可．
【小问1详解】
解：因每件玩具售价为x元，
依题意得；
【小问2详解】
解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，
依题意得：，
解得，
答：该商店继续购进了件航天模型玩具．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键．
23. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案；
（2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
小问2详解】
如图，过作于，
则，而，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键．
24. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
【答案】（1）；
（2）该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【解析】
【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解．
【小问1详解】
解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：作于点C，设与水平面交于点D，则，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析
【解析】
【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；
（2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．
26. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或或
（3）或．
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【小问1详解】
解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
【小问3详解】
①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．