2023年锦州市初中学业水平考试
数学试卷
考试时间120分钟 试卷满分120分
※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从上面看：共有3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形，据此可画出图形．
【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性即可．
【详解】对于A，，故A选项错误，
对于B，，故B选项正确，
对于C，，故C选项错误，
对于D，，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平角的定义可得，由平行线的性质可得．
【详解】如图，
∵，
∴．
∵直尺的对边平行，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5. 在一次跳绳测试中，参与测试的10名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：
这10名学生跳绳成绩的中位数和众数分别为（ ）
A. 132，130 B. 132，132 C. 130，130 D. 130，132
【答案】A
【解析】
【分析】中位数：是指将所有数从小到大或从大到小排列后，如果总数为奇数个，中位数就是排在最中间的那个数；如果总数为偶数个，中位数就是排在最中间的两个数的平均数；众数∶一组数据中，出现次数最多的数据．根据定义即可求解．
【详解】解：这组数据的中位数为，
这组数据中130出现次数最多，则众数为130，
故选：A．
【点睛】本题考查中位数、众数，熟知中位数、众数的计算方法，数据较大，正确计算是解答的关键．
6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
7. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又的半径为3，
∴扇形（阴影部分）的面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键．
8. 如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作于H，
，
∵，，
∴，
∴
当时，
如图，重叠部分为，此时，，
，
∴，
∴，即，
∴
∴；
当时，
如图，重叠部分为四边形，此时，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当 时
如图，重叠部分为四边形，此时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
综上，，
∴符合题意的函数图象是选项A．
故选：A．
【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9. 近年来，跑步成为越来越多人的一种生活方式．据官方数据显示，2023年上海半程马拉松报名人数达到78922人．将数据78922用科学记数法表示为______________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ；
故答案为．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
11. 甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是______________．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差越小，波动性越小，越稳定即可判断．
【详解】∵，，，平均成绩都是8.5环，，
∴
∴三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是乙．
故答案为乙．
【点睛】本题考查方差．根据方差是反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，越不稳定．反之方差越小，波动性越小，越稳定是解答本题关键．
12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果．
【详解】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得,
∴盒子中红球的个数约为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．
13. 如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________．
【答案】##度
【解析】
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
14. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
，
由题意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为______________．
【答案】4
【解析】
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，
∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标为，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴点与点的横坐标相同，，，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，，，，…都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）
17. 化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先把括号里的式子通分相减，然后把除数的分子、分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约成最简分式或整式；求值时把a值代入化简的式子算出结果．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键．
18. 2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书先去实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古曲诗词，D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生有 名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为 ；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．
【答案】（1）60，；
（2）见解析 （3）540名
【解析】
【分析】（1）由C组的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A人数所占比例即可得其对应圆心角度数；
（2）根据各类型人数之和等于总人数求得B组的人数，补全图形即可得；
（3）总人数乘以D组人数和所占比例即可．
【小问1详解】
本次调查的总人数（名），
扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是，
故答案为：60，；
【小问2详解】
（人）；
补全条形统计图如答案图所示．
【小问3详解】
（名）．
答：全校1800名学生中，参加“D”活动小组的学生约有540名．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
19. 垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一．为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）利用画树状图或列表法求概率即可．
【小问1详解】
解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：方法一：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
方法二：根据题意可列表如下：
由表格可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
【点睛】本题考查列表法和树状图法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
20. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？
【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元
【解析】
【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可．
【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键．
五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
21. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
22. 如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为；
【解析】
【分析】（1）根据与相切于点A 得到，再根据得到，再根据得到即可根据角的关系解答；
（2）连接，过点D作，交延长线于点M，在等多个直角三角形中运用三角函数的定义求出半径，再根据勾股定理求出，即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，
∵为的直径，与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
连接，过点D作，交延长线于点M，如图，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴设，，
在中，，
∵，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用数学结合思想．
六、解答题（本题共10分）
23. 端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元
【解析】
【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设一次函数的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴求y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设日销售利润为w，
由题意得：
，
∴当时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【点睛】本题考查了二次函数应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键．
七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）
24. 【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为 ；
（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可；
（2）仿照（1）的思路即可解答；
（3）方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，，，，，在中，利用勾股定理构建方程，求出．证明，利用相似三角形的性质即可求解；
方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，，证明，可得出．设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
又，
∴；
（2）解：；
如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
（3）．
方法一：
如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，
∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵是以为底边等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
方法二：
如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，
∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
设，则，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
25. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点G的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．
∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下图，
抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
【小问3详解】
解：存在，点的坐标为或．
如下图，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点与点关于对称轴对称，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
如下图，连接，，，
同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．