二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单选题
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 纳米是非常小的长度单位，，把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列命题中叙述正确的是（ ）
A. 若方差，则甲组数据的波动较小
B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
8. 绥化市举办了年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（ ）
A. 该组数据样本容量是人
B. 该组数据的中位数落在这一组
C. 这组数据的组中值是
D. 这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为
9. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
10. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②；③当时，
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
13. 因式分解：_______．
14. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
15. 在张完全相同卡片上，分别标出，，，，从中随机抽取张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．
16. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
17. 化简：_______．
18. 如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）
19. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）
20. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．
21. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示）
22. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______．
三、解答题
23. 已知：点外一点．
（1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
24. 如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿的方向走米到达P点．求的值．
25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人．
（1）每辆型车、型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米．
26. 已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点．
（1）如图一，当点为的中点时，求证：．
（2）如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式．
（3）如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长．
27. 如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
28. 如图，抛物线图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
（1）求抛物线和一次函数的解析式．
（2）点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）将抛物线图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？