2023湖南省衡阳市中考数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作元，则支出237元记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 0元 D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反意义的量的意义解答即可．
【详解】∵收入500元记作元，
∴支出237元记作元，
故选B．
【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．
2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【详解】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．
【详解】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；
B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意．
故选择B．
【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．
5. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．
6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．
【详解】7358万，
故选：A．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
8. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB＝CD B. AB∥CD C. ∠A＝∠C D. BC＝AD
【答案】A
【解析】
【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．
【详解】解：A、当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、当BC∥AD，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．
9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等量关系“鸡的只数兔的只数”和“2鸡的只数兔的只数”即可列出方程组．
【详解】解：设有x只鸡，y只兔，
由题意可得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案．
【详解】解：甲的平均数为，
甲的方差为，
乙的平均数为，
乙的方差为，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法
【答案】A
【解析】
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．
则三角形的三个内角的和大于，
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
12. 已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13. 在平面直角坐标系中，点所在象限是第________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：的横坐标为负数，纵坐标为负数，
在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据公式计算即可．
【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴取出红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
15. 已知，则代数式的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．
【详解】解：原式=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．
16. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
17. 如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理，得，根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．
【详解】∵，
∴，
根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，
∴,
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键．
18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．
【答案】10
【解析】
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
【答案】（1）84，100，；
（2）200人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；
（2）用500人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：∵一共抽取八年级学生15人，
∴中位数是排序后的第8个数据，
∵1+5=6，
∴第8个数据落在C组，
∴a第八名学生成绩，即；
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，
∴，
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，
∴；
故答案为：84，100，；
【小问2详解】
解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．
22. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线，交x轴于点D．求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；
（2）由题意可得：垂直平分，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质可得，设，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．
【小问1详解】
解：解方程组，得，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得：垂直平分，
连接，如图，则，
设，
则，解得，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的尺规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
【解析】
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
【小问2详解】
解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
24. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．
（1）求证：．
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证．
（2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，中，利用勾股定理计算x即可．
【小问1详解】
∵D是的中点，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，是的直径，
∴，
∵，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键．
25. （1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．
①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论；
③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；
（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不发生变化，；
证明：作，垂足分别为点M、N，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
证明：作交于点E，作于点F，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
作于点M，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，理由见详解
（3）存在点P，直线的解析式为或．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；
（2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；
（3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
故直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
【小问3详解】
解：存在点P，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故直线的解析式为；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，
∴，
∴，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点,
故设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述：直线的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．