2020年四川省自贡市中考数学试卷
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（ ）
A．70×104 B．0.7×107 C．7×105 D．7×106
3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，﹣2）
6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是5 B．众数是7 C．平均数是4 D．方差是3
8．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
10．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．﹣＝40 B．﹣＝40
C．﹣＝40 D．﹣＝40
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝ ．
14．（4分）与﹣2最接近的自然数是 ．
15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）： ．
①绘制扇形图；
②收集最受学生欢迎菜品的数据；
③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；
④整理所收集的数据．
16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．
20．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．
22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．
（1）本次调查的学生人数是 人，m＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是 ．
23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．
∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是 ；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；
③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．
26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．
2020年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：700000用科学记数法表示为7×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据左视图即从左边观察所得图形．
【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．
4．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴，
∴a＝．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
5．【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．
【解答】解：将点（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3）即（2，﹣2）；
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
6．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7．【分析】根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可．
【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；
B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；
C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5＝4，故本选项正确；
D、方差是：[2×（3﹣4）2+（7﹣4）2+（5﹣4）2+（2﹣4）2]＝3.2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
8．【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．
【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即这个角的度数为130°．
故选：C．
【点评】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
9．【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
10．【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
11．【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，
依题意，得：﹣＝40，
即﹣＝40．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2．
故答案为：3（a﹣b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．【分析】根据3.5＜＜4，可求1.5＜﹣2＜2，依此可得与﹣2最接近的自然数．
【解答】解：∵3.5＜＜4，
∴1.5＜﹣2＜2，
∴与﹣2最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点评】考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
15．【分析】根据收据的收集、整理及扇形统计图的制作步骤求解可得．
【解答】解：②收集最受学生欢迎菜品的数据；
④整理所收集的数据；
①绘制扇形图；
③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；
故答案为：②④①③．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
16．【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为6．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．【分析】连接OG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：连接OG，
∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x＝，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，S扇形OGQ＝S扇形OQF，
∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）
＝S矩形OGCH﹣S△OFQ＝×﹣（××）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
18．【分析】设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第一象限交于点B、C两点，可得﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解答】解：设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y＝﹣x+b，
∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD＝﹣b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，
∴﹣x+b＝，
整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，
∵＝cos60°＝，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝k＝16，
解得：k＝4．
由题意可以假设D1（m，m），
∴m2•＝4，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，n），
∵（4+n）•n＝4，
解得n＝2﹣2，
∴E1E2＝4﹣4，即第二个三角形的周长为12﹣12，
设D3（4+a，a），
由题意（4+a）•a＝4，
解得a＝2﹣2，即第三个三角形的周长为12﹣12，
…，
∴第四个三角形的周长为12﹣12，
∴前25个等边三角形的周长之和12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，
故答案为4，60．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣1+（﹣6）
＝1+（﹣6）
＝﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x是不等式组的整数解，然后即可得到x的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：•（+1）
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，
∵当x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．【分析】根据正方形的性质可证明△AEB≌△BFC（SAS），然后根据全等三角形的判定即可求出答案．
【解答】解：在正方形ABCD中，
AB＝CD＝CD＝AD，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及判定，本题属于基础题型．
22．【分析】（1）根据B组的人数和所占比例求出本次调查的学生人数；求出A组所占的百分数，即可得出m的值；
（2）求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），由概率公式求出概率；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，
则m＝30；
故答案为：60，30；
（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：
（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），
其中有一天是星期一的概率是；
小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，
∴其中有一天是星期三的概率为＝；
故答案为：，．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．【分析】（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的y关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙＝；
（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24．【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；
（3）①原式变形﹣2和4距离x最小值为4﹣（﹣2）＝6；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【解答】解：（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|＝|x﹣4|+|x﹣（﹣2）|，表示P到A与到B的距离之和，
点P在线段AB上，PA+PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞6，
∴|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
故答案为：6；
②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＞4，表示到﹣3和1距离之和大于4的范围，
当点在﹣3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在﹣3的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则x范围为x＜﹣3或x＞1；
③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．
25．【分析】（1）首先证明PF垂直平分线段AC，利用垂径定理可得结论．
（2）设BC＝a，通过计算证明AD2＝PD•OD，推出△ADP∽ODA即可解决问题．
（3）如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．想办法求出EJ，DJ即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分线段AC，
∴＝．
（2）证明：设BC＝a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，
∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，
∵PA＝PC＝AB，
∴PA＝PC＝3a，
∵∠PDC＝90°，
∴PD＝＝＝4a，
∵DC＝DA，AO＝OB，
∴OD＝BC＝a，
∴AD2＝PD•OD，
∴＝，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，
∴△ADP∽△ODA，
∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（1）可知，PA＝6，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB＝＝＝6，
∵PA2＝PE•PB，
∴PE＝＝4，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，
∴PK＝10，
∵EJ∥BK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，PJ＝，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，
∴DE＝＝＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，即可求解；
（2）①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，即可求解；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，则DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝＝；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，
DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
则直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，
故点Q（0，2﹣），
由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，
则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），
则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
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日期：2020/8/14 17:44:57；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006