2020年广东省初中学业水平考试
数 学
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．9的相反数是
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
2．一组数据2、4、3、5、2的中位数是
A．5 B．3．5 C．3 D．2．5
3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为
A．（﹣3 ，2） B．（﹣2 ，3） C．（2 ，﹣3） D．（3 ，﹣2）
4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
6．已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
A．8 B． C．16 D．4
7．把函数y=（x﹣1）2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
A．y=x2+2 B．y=（x﹣1）2+1
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣1）2+3
8．不等式组的解集为
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
9．如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
A．1 B． C． D．2
10．如题10图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共27分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．分解因式：xy﹣x=____________．
12．如果单项式3xmy与﹣5x3yn 是同类项，那么m+n=________．
13．若+|b+1|=0，则（a+b）2020=_________．
14．已知x=5﹣y，xy=2，计算3x+3y﹣4xy的值为___________．
15．如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度数为___________．
16．如题16图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m．
17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M、N分别在射线BA、BC上，MN长度始终不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA、BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x﹣y) ﹣2x2，其中x=,y=．
19．某中学展开主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级 ．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
（1）求x的值；
（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？
20．如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
22．如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．
23．某社区拟建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A、B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．如题24图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB、BC分别交于点D、E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG．
（1）填空：k=________；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
25．如题25图，抛物线y=与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC=CD．
（1）求b、c的值；
（2）求直线BD的直线解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
2020年广东省初中学业水平考试
数 学
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．9的相反数是
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
【答案】A
【解析】正数的相反数是负数．
【考点】相反数
2．一组数据2、4、3、5、2的中位数是
A．5 B．3．5 C．3 D．2．5
【答案】C
【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数．
【考点】中位数
3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为
A．（﹣3 ，2） B．（﹣2 ，3） C．（2 ，﹣3） D．（3 ，﹣2）
【答案】D
【解析】关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【考点】对称性
4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】（n-2）×180°=540°，解得n=5．
【考点】n边形的内角和
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【答案】B
【解析】偶数次方根的被开方数是非负数．
【考点】二次根式
6．已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
A．8 B． C．16 D．4
【答案】A
【解析】三角形的中位线等于第三边的一半．
【考点】三角形中位线的性质．
7．把函数y=（x﹣1）2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
A．y=x2+2 B．y=（x﹣1）2+1
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣1）2+3
【答案】C
【解析】左加右减，向右x变为x-1，y=（x﹣1﹣1）2+2y=（x﹣2）2+2 ．
【考点】函数的平移问题．
8．不等式组的解集为
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【答案】D
【解析】解不等式．
【考点】不等式组的解集表示．
9．如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】解法一：排除法
过点F作FG∥BC交BE与点G，可得∠EFG=30°，∵FG=3，由三角函数可得EG=，∴BE＞．
解法二：角平分线的性质
延长EF、BC、B’C’交于点O，可知∠EOB=∠EOB’=30°，可得∠BEO=∠B’EO=60°， ∴∠AEB’=60°．设BE=B’E=2x，由三角函数可得AE=x，由AE+BE=3，可得x=1，∴BE=2．
【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数．
10．如题10图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1
【答案】B
【解析】由a＜0，b＞0，c＞0可得①错误；由△＞0可得②正确；由x=-2时，y＜0可得③正确．当x=1时，a+b+c＞0，当x=-2时，4a-2b+c＞0即-4a+2b-c＞0，两式相减得5a-b+2c＞0，即5a+2c＞b，∵b＞0，∴5a+b+2c＞0可得④正确．
【考点】二次函数的图象性质．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共27分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．分解因式：xy﹣x=____________．
【答案】x（y-1）
【解析】提公因式
【考点】因式分解
12．如果单项式3xmy与﹣5x3yn 是同类项，那么m+n=________．
【答案】4
【解析】m=3，n=1
【考点】同类项的概念
13．若+|b+1|=0，则（a+b）2020=_________．
【答案】1
【解析】算术平方根、绝对值都是非负数，∴a=2，b=-1，-1的偶数次幂为正
【考点】非负数、幂的运算
14．已知x=5﹣y，xy=2，计算3x+3y﹣4xy的值为___________．
【答案】7
【解析】x+y=5，原式=3（x+y）-4xy，15-8=7
【考点】代数式运算
15．如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度数为___________．
【答案】45°
【解析】菱形的对角线平分对角，∠ABC=150°，∠ABD=75°
【考点】垂直平分线的性质、菱形的性质
16．如题16图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m．
【答案】
【解析】连接BO、AO可得△ABO为等边，可知AB=1，l=，2πr=得r=
【考点】弧长公式、圆锥
17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M、N分别在射线BA、BC上，MN长度始终不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA、BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________．
【答案】
【解析】 点B到点E的距离不变，点E在以B为圆心的圆上，线段BD与圆的交点即为所求最短距离的E点，BD=，BE=2
【考点】直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x﹣y) ﹣2x2，其中x=,y=．
【答案】
解：
原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2
=2xy
把x=,y=代入，
原式=2××=2
【解析】完全平方公式、平方差公式，合并同类项
【考点】整式乘除，二次根式
19．某中学展开主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级 ．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
（1）求x的值；
（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？
【答案】
解：
（1）由题意得24+72+18+x=120，解得x=6
（2）1800×=1440（人）
答：估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．
【解析】统计表的分析
【考点】概率统计
20．如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】
证明：
∵BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE
∴△BFDF≌△CFE（AAS）
∴∠DBF=∠ECF
∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
【解析】等式的性质、等角对等边
【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】
解：
由题意得，解得
由，解得
（2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得x2﹣4x+12=0
（x-）2=0
x1=x2=
∴该三角形的形状是等腰三角形
∵（2）2=24，（）2=12
∴（2）2=（）2+（）2
∴该三角形的形状是等腰直角三角形
【解析】理解方程组同解的概念，一元二次方程的解法、三角形形状的判断
【考点】二元一次方程组、一元二次方程、勾股定理逆定理
22．如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．
【答案】
证明：过点O作OE⊥CD交于点E
∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴∠OBC=90°即OB⊥BC
∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD
∴OB=OE
∵AB是⊙O的直径
∴OE是⊙O的半径
∴直线CD与⊙O相切
（2）连接OD、OE
∵由（1）得，直线CD、AD、BC与⊙O相切
∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，
∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO
∴∠AOD=∠EOD，CD=3
∵=
∴∠APE=∠AOE=∠AOD
∵AD∥BC
∴∠ADE+∠BCE=180°
∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°
∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO
∴△ODE∽△CDO
∴即
∴OD=
∵在Rt△AOD中，AO=
∴tan∠AOD==
∴tan∠APE=
【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法
【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数
23．某社区拟建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A、B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【答案】
解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米.
解得x=3
经检验x=3是原方程的解
∴x+2=5（平方米）
答：每个A、B类摊位占地面积各为5平方米和3平方米.
设A类摊位数量为a个，则B类摊位数量为（90-a）个，最大费用为y元.
由90-a≥3a，解得a≤22.5
∵a为正整数
∴a的最大值为22
y=40a+30（90-a）=10a+2700
∵10＞0
∴y随a的增大而增大
∴当a=22时，y=10×22+2700=2920（元）
答：这90个摊位的最大费用为2920元.
【解析】分式方程的应用题注意检验，等量关系的确定是关键
【考点】分式方程的应用，不等式的应用，一次函数应用
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．如题24图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB、BC分别交于点D、E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG．
（1）填空：k=_2_______；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【答案】
（2）解：过点D作DP⊥x轴交于点P
由题意得，S矩形OBC=AB•AO=k=8，S矩形ADPO=AD•AO=k=2
∴=即BD=AB
∵S△BDF=BD•AO=AB•AO=3
（3）连接OE
由题意得S△OEC=OC•CE=1，S△OBC=OC•CB=4
∴即CE=BE
∵∠DEB=∠CEF，∠DBE=∠FCE
∴△DEB∽△FEC
∴CF=BD
∵OC=GC，AB=OC
∴FG=AB-CF=BD-BD=BD
∵AB∥OG
∴BD∥FG
∴四边形BDFG为平行四边形
【解析】反比例函数k的几何意义，三角形面积的表示，清楚相似比与线段比的关
【考点】反比例函数、相似三角形、三角形的面积比、平行四边形的判定
25．如题25图，抛物线y=与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC=CD．
（1）求b、c的值；
（2）求直线BD的直线解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】
解：（1）由题意得A（-1,0），B（3,0），代入抛物线解析式得
，解得
（2）过点D作DE⊥x轴交于点E
∵OC∥OC，BC=CD，OB=3
∴
∴OE=
∴点D的横坐标为xD=-
∵点D是射线BC与抛物线的交点
∴把xD=-代入抛物线解析式得yD=+1
∴D(-,+1)
设直线BD解析式为y=kx+m，将B（3，0）、D(-,+1)代入
，解得
∴直线BD的直线解析式为y=
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n＜0，Q（x，0）且x＜3
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得-n=
tan∠PQB=tan∠ADB，即=1，解得x=
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得-n=2
tan∠QPB=tan∠ABD，即=，解得x=
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得-n=
tan∠PQM=tan∠DAE，即=，解得x=
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得-n=2
tan∠PQM=tan∠DAE，即=，解得x=
综上所述，Q1（，0）、Q2（，0）、Q3（，0）、Q4（，0）
【解析】分类讨论不重不漏，计算能力要求高
【考点】一次函数、二次函数、平面直角坐标系、相似三角形、三角函数、分类讨论、二次根式计算