南京市2020年初中学业水平考试数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.计算的结果是( )
A. B. C. D. 5
2.3平方根是( )
A. 9 B. C. D.
3.计算的结果是( )
A. B. C. D.
4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口任务
5.关于x的方程(为常数)根的情况下，下列结论中正确的是( )
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
6.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是( )
A B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(将答案填在答题纸上)
7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
8.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
9.纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学计数法表示是__________．
10.计算的结果是__________．
11.已知x、y满足方程组，则的值为__________．
12.方程解是__________．
13.将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
14.如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．
15.如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________．
16.下列关于二次函数(为常数)的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答
17.计算：
18.解方程：.
19.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.
20.已知反比例函数的图象经过点
(1)求的值
(2)完成下面的解答
解不等式组
解：解不等式①，得 ．
根据函数的图象，得不等式②得解集 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
21.为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位：)进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内．
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．
22.甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览．
(1)求甲选择的2个景点是A、B的概率．
(2)甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ．
23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，)
24.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形
(2)
25.小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第时， 小丽、小明离地距离分别为、，与x之间的数表达式，与x之间的函数表达式是．
(1)小丽出发时，小明离A地的距离为 ．
(2)小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26.如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
(1)当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
(2)当时，判断与是否相似，并说明理由
27.如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
(1)如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明．
(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由)，
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
南京市2020年初中学业水平考试数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.计算的结果是( )
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2.3的平方根是( )
A. 9 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据平方根的概念即可求解．
【详解】∵ ∴3的平方根是． 故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
3.计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，从而可得答案．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．
4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
【答案】A
【解析】
【分析】
用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A； 用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B； 根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C； 根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D．
【详解】A、1660-551=1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断不合理，符合题意；
B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过9000万人，故本选项推断合理，不符合题意；
C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289，3046-1660=1386，1660-551=1109，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不符合题意；
D、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万农村人口的脱贫任务，故本选项推理合理，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
5.关于x的方程(为常数)根的情况下，下列结论中正确的是( )
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
6.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题(将答案填在答题纸上)
7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可．
【详解】解：∵|-1|=1，1<3，
∴这个负数可以是-1．
故答案为：-1(答案不唯一)．
【点睛】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
8.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
9.纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学计数法表示是__________．
【答案】s．
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示形式进行表示即可．
【详解】∵，
∴=20×10-9s，
用科学记数法表示得s，
故答案为：s．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
10.计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
11.已知x、y满足方程组，则的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先解方程组求解，从而可得答案．
【详解】解：
①得： ③
③－②得：
把代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
12.方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：
经检验：是原方程的根．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验.
13.将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案；
【详解】∵一次函数的解析式为，
∴设与x轴、y轴交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，
∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
14.如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 过作于，
正六边形,
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
15.如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________．
【答案】78
【解析】
【分析】
如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．
详解】如图，连接BO并延长，
∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，
∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，
∴∠A+∠C=39，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，
故答案为：78．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
16.下列关于二次函数(为常数)的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答
17.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．
【详解】解：
．
【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18.解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】解：因式分解得：(x+1)(x-3)=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
19.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”可得AD =AE ，继而可得结论．
试题解析：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE(ASA)，
∴AD=AE(全等三角形的对应边相等),
∴AB-AD=AC-AE，
即：BD=CE.
20.已知反比例函数的图象经过点
(1)求的值
(2)完成下面的解答
解不等式组
解：解不等式①，得 ．
根据函数的图象，得不等式②得解集 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【答案】(1)2；(2)，，见解析，
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①的解集；根据反比例函数的图像求出不等式②的解集，进而求出公共部分即可．
【详解】解：(1)因为点在反比例函数的图像上，
所以点的坐标满足，
即，解得；
(2)，
解不等式①，得；
∵y=1时，x=2，
∴根据函数的图象，得不等式②得解集．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数图象解不等式，以及不等式组的解法，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．
21.为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位：)进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内．
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．
【答案】(1)2；(2)7500
【解析】
【分析】
(1)将200个数据按大小顺序排列最中间两个数的平均数即为中位数，进而可解决问题；
(2)求出用电量低于的户数的百分比，根据总户数求出答案．.
【详解】解：(1)将200个数据按大小顺序排列最中间两个数即第100和101个数，它们的平均数即为中位数，这两个数都落在第2组，
故答案为：2；
(2)(户)
因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于的大约有户.
【点睛】本题考查频数分布表，利用统计表获取信息的能力，以及利用样本估计总体，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．
22.甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览．
(1)求甲选择的2个景点是A、B的概率．
(2)甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ．
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；
(2)根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】(1)解：用列表法表示所有可能出现结果如下： (1)共有9种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，
∴P(A、B)=；
(2)共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种， ∴P(景点相同)=． 故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．
23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，)
【答案】20km
【解析】
【分析】
过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足
在中，
在中，
在中，
(km)
因此，轮船航行的距离约为
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形
(2)
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
(2)如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：(1)，
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
(2)如图，连接
，
四边形是的内接四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
25.小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第时， 小丽、小明离地的距离分别为、，与x之间的数表达式，与x之间的函数表达式是．
(1)小丽出发时，小明离A地的距离为 ．
(2)小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【答案】(1)250；(2)当小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是
【解析】
【分析】
(1)由x=0时，根据-求得结果即可；
(2)求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可．
【详解】解(1)当x=0时，=2250，=2000
∴-=2250-2000=250(m)
故答案为：250
(2)设小丽出发第时，两人相距，
则
即
其中
因此，当时
S有最小值，
也就是说，当小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
26.如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
(1)当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
(2)当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】(1)，；(2)相似，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据证得△△，推出，再证明结论；
(2)作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】(1)∵，
∴，
∵，
∴，
∴△△，
∴，
∵，
∴△△，
故答案为：，；
(2)如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，
∴△△，
∴，
同理：，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴△△，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
同理：，
∴，
又，
∴△△．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
27.如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
(1)如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明．
(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由)，
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示
②生态保护区圆形区域，位置如图④所示．
【答案】(1)证明见解析；(2)①见解析，②见解析
【解析】
【分析】
(1)连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案；
(2)由(1)可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图．
【详解】(1)证明：如图，连接
∵点A、关于l对称，点C在l上
∴，
∴，
同理，
在中，有
∴；
(2)解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB(如图，其中D是正方形的顶点)．
②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是(如图，其中CD、BE都与圆相切)．
【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线．