2020年镇江市中考数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
2．如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是
A． B． C． D．
3．一次函数的函数值随的增大而增大，它的图象不经过的象限是
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
4．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于
A． B． C． D．
5．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于
A． B．4 C． D．
6．如图①，，射线，点在射线上，将沿所在直线翻折，点的对应点落在射线上，点，分别在射线、上，．设，．若关于的函数图象（如图②经过点，则的值等于
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．的倒数等于 ．
8．使有意义的的取值范围是 ．
9．分解因式： ．
10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了93480000人，用科学记数法把93480000表示为 ．
11．一元二次方程的两根分别为 ．
12．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
13．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
14．点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 后能与原来的图案互相重合．
15．根据数值转换机的示意图，输出的值为 ．
16．如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为 ．
17．在从小到大排列的五个数，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则的值为 ．
18．如图，在中，，将平移5个单位长度得到△，点、分别是、的中点，的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（1）计算：；
（2）化简．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
21．如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了．
（1）求表格中的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在这个范围内的人数是多少．
23．智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
24．如图，点与树的根部点、建筑物的底部点在一条直线上，．小明站在点处观测树顶的仰角为，他从点出发沿方向前进到点时，观测树顶的仰角为，此时恰好看不到建筑物的顶部、、三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面，求建筑物的高度（结果精确到．（参考数据：，．
25．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1） ， ；
（2）点在轴正半轴上．，求点的坐标；
（3）点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围．
26．如图，中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、．点在边上，交于点，为的中点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与相切时，求的长．
27．【算一算】
如图①，点、、在数轴上，为的中点，点表示，点表示1，则点表示的数为 ，长等于 ；
【找一找】
如图②，点、、、中的一点是数轴的原点，点、分别表示实数、，是的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点、分别表示实数、，在这个数轴上作出表示实数的点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有个学生，每分钟又有个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，、、会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数记作，用点表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数记作，用点表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示、的点、，并写出的实际意义；
②写出、的数量关系： ．
28．如图①，直线经过点且平行于轴，二次函数、是常数，的图象经过点，交直线于点，图象的顶点为，它的对称轴与轴交于点，直线、分别与轴相交于、两点．
（1）当时，求点的坐标及的值；
（2）随着的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，是轴上位于点右侧的点，，交抛物线于点．若，求此时的二次函数表达式．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
解：，因此选项不正确；
，因此选项正确；
，因此选项不正确；
，因此选项不正确；
故选：．
2．如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是
A． B． C． D．
解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，
故选：．
3．一次函数的函数值随的增大而增大，它的图象不经过的象限是
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，该函数过点，
该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：．
4．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于
A． B． C． D．
解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
．
故选：．
5．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于
A． B．4 C． D．
解：点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，
故选：．
6．如图①，，射线，点在射线上，将沿所在直线翻折，点的对应点落在射线上，点，分别在射线、上，．设，．若关于的函数图象（如图②经过点，则的值等于
A． B． C． D．
解：，，
四边形是平行四边形，
，
由图②可得当时，，
此时点在点下方，且时，，如图①所示，
，
将沿所在直线翻折，点的对应点落在射线上，
，，
，
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．的倒数等于 ．
解：，
的倒数是，
故答案为：．
8．使有意义的的取值范围是 ．
解：根据二次根式的意义，得
，解得．
9．分解因式： ．
解：，
，
．
10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了93480000人，用科学记数法把93480000表示为 ．
解：．
故答案为：．
11．一元二次方程的两根分别为 ， ．
解：，
，
或，
解得，．
12．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
解：袋子中共有个小球，其中红球有5个，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于，
故答案为：．
13．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
解：圆锥侧面积．
故答案为．
14．点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 72 后能与原来的图案互相重合．
解：连接，，则这个图形至少旋转才能与原图象重合，
．
故答案为：72．
15．根据数值转换机的示意图，输出的值为 ．
解：当时，，
故答案为：．
16．如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为 135 ．
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
17．在从小到大排列的五个数，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则的值为 1 ．
解：从小到大排列的五个数，3，6，8，12的中位数是6，
再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，
加入的一个数是6，
这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，
，
解得．
故答案为：1．
18．如图，在中，，将平移5个单位长度得到△，点、分别是、的中点，的最小值等于 ．
解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（1）计算：；
（2）化简．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
解：（1），
，
，
，
经检验，是原方程的解，
此方程的解是；
（2），
①，
，
；
②，
，
，
，
不等式组的解集是．
21．如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解答】证明：（1）在和中，
，
，
；
（2），，
，
，
．
22．教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了．
（1）求表格中的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在这个范围内的人数是多少．
解：（1）；
（2），
所以估计该校平均每天的睡眠时间在这个范围内的人数是（人．
23．智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 8 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
解：（1）共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴；阴，阳，阴；阴，阴，阳；阳，阴，阴；阳，阳，阴；阳，阴，阳；阴，阳，阳；阳、阳、阳；
故答案为：8；
（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．
24．如图，点与树的根部点、建筑物的底部点在一条直线上，．小明站在点处观测树顶的仰角为，他从点出发沿方向前进到点时，观测树顶的仰角为，此时恰好看不到建筑物的顶部、、三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面，求建筑物的高度（结果精确到．（参考数据：，．
解：如图，延长，交于点，交于点，
，，
则，
设，
，，
，
即，
解得，
根据题意可知：
，
，
则，
．
答：建筑物的高度约为．
25．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1） ， ；
（2）点在轴正半轴上．，求点的坐标；
（3）点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围．
解：（1）把代入反比例函数中，得，
，
把代入正比例函数中，得，
故答案为：；；
（2）过作轴于，过作轴于，
，
根据双曲线与正比例函数图象的对称性得，
设，则，，，，
，，
，
，
，
，即，
解得，，或（舍，
，；
（3）如图2，过作轴于，过作轴于，在轴上原点的两旁取两点，，使得，
，
，，，，
，
四边形为矩形，
，，
点在轴上，为锐角，
点必在的左边或的右边，
或．
26．如图，中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、．点在边上，交于点，为的中点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与相切时，求的长．
解：（1）证明：为的中点，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形为菱形；
（2）如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，设交于点，
则，
设，则
，
，
，
，
当与相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知为切点，
由勾股定理得：，
解得：．
的长为．
27．【算一算】
如图①，点、、在数轴上，为的中点，点表示，点表示1，则点表示的数为 5 ，长等于 ；
【找一找】
如图②，点、、、中的一点是数轴的原点，点、分别表示实数、，是的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点、分别表示实数、，在这个数轴上作出表示实数的点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有个学生，每分钟又有个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，、、会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数记作，用点表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数记作，用点表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示、的点、，并写出的实际意义；
②写出、的数量关系： ．
解：（1）【算一算】：记原点为，
，
，
，．
所以点表示的数为5，长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为，
，
，
，
为原点．
故答案为：．
（3）【画一画】：记原点为，
由，
作的中点，
得，
以点为圆心，
长为半径作弧交数轴的正半轴于点，
则点即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点，；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：．
分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
，即（Ⅰ）；
分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
，即（Ⅱ）；
①以为圆心，长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点即为所求．
作的中点，则，在数轴负半轴上用圆规截取，
则点即为所求．
的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）方程（Ⅰ）得：．
故答案为：．
28．如图①，直线经过点且平行于轴，二次函数、是常数，的图象经过点，交直线于点，图象的顶点为，它的对称轴与轴交于点，直线、分别与轴相交于、两点．
（1）当时，求点的坐标及的值；
（2）随着的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，是轴上位于点右侧的点，，交抛物线于点．若，求此时的二次函数表达式．
解：（1）分别过点、作于点，于点，
轴，
，，
，，
，则，
将代入上式并解得：，
抛物线的表达式为：，
则点，，
则，，，，，
，解得：，，
；
（2）不变，理由：
过点，则，
解得：，
，
点，，
，，
由（1）的结论得：，，
；
（3）过点作轴于点，则，则，
，，
，
，
则，
，
，
，
，
，，
将点的坐标代入得：
，
解得：或，
故或．