2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列有理数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
2．（2分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ）
A．1.09×103 B．1.09×104 C．10.9×103 D．0.109×105
3．（2分）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝8a3 D．a3÷a＝a3
5．（2分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
6．（2分）不等式2x≤6的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x＞3
7．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
8．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2+x＝ ．
12．（3分）二元一次方程组的解是 ．
13．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
18．（8分）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为 ．
四、（每小题8分，共16分）.
20．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为 度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
21．（8分）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为 ．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为 ，AB的长为 ；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为 （用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为 ．
七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为 ．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为 ．
2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列有理数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【分析】根据有理数的大小比较的法则分别进行比较即可．
【解答】解：由于﹣2＜0＜1＜2＜3，
故选：A．
2．（2分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ）
A．1.09×103 B．1.09×104 C．10.9×103 D．0.109×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将10900用科学记数法表示为1.09×104．
故选：B．
3．（2分）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．
故选：D．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝8a3 D．a3÷a＝a3
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，不合题意；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、（2a）3＝8a3，正确；
D、a3÷a＝a2，故此选项错误；
故选：C．
5．（2分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【分析】由三角形内角和定理可求∠ABC的度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
6．（2分）不等式2x≤6的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x＞3
【分析】不等式左右两边同时除以2，不等号方向不变，即可求出不等式的解集．
【解答】解：不等式2x≤6，
左右两边除以2得：x≤3．
故选：A．
7．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故选：A．
8．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】（方法一）根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝x+2的图象经过第一、二、三象限，即该图象不经过第四象限；
（方法二）描点、连线，画出函数y＝kx+b（k≠0）的图象，关系函数图象，即可得出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限．
【解答】解：（方法一）将A（﹣3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+2．
∵k＝＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝x+2的图象经过第一、二、三象限，
即该图象不经过第四象限．
故选：D．
（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限．
故选：D．
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
【分析】根据矩形的性质和三角函数的定义得到∠BAE＝30°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2+x＝ x（2x+1） ．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x（2x+1）．
故答案为：x（2x+1）．
12．（3分）二元一次方程组的解是 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为．
故答案为：．
13．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵甲＝7＝乙，S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为 6 ．
【分析】利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．
【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝2，
∵AC＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，可得k＝6，
故答案为6．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF＝6，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，
∵AM＝2MD，
∴AM＝8，
故答案为：8．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 或1 ．
【分析】分两种情况讨论，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段成比例可得OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，由折叠的性质可得∠APO＝∠EPO＝45°，可求OH＝HP＝3，可得PD＝1；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝5，通过证明△OFE∽△BAD，可得，可求OF的长，通过证明△PFD∽△BAD，可得，可求PD的长．
【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8，
∴OH∥AB，
∴，
∴OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴∠APO＝∠EPO＝45°，
又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°，
∴OH＝HP＝3，
∴PD＝HD﹣HP＝1；
当∠PFD＝90°时，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，
又∵∠OFE＝∠BAD＝90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴OF＝3，
∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB，
∴△PFD∽△BAD，
∴，
∴，
∴PD＝，
综上所述：PD＝或1，
故答案为或1．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×+9+1+2﹣
＝+12﹣
＝12．
18．（8分）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，找出抽出的两名学生性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3，
所以抽出的两名学生性别相同的概率＝＝．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为 ．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可得到判定△AOM≌△CON的条件；
（2）连接CE，设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长．
【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）如图所示，连接CE，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，
∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
四、（每小题8分，共16分）.
20．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 100 ，n＝ 60 ；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为 108 度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【分析】（1）根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得m的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到n的值；
（2）根据统计图中的数据，可以得到可回收物的吨数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝×100%＝60%，
故答案为：100，60；
（2）可回收物有：100﹣30﹣2﹣8＝60（吨），
补全完整的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）2000×＝1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
21．（8分）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【分析】求的是工效，工作总量是3000m，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前2天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际用时＝2，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设原计划每天修建盲道xm，
则﹣＝2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道300米．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为 ．
【分析】（1）如图，连接OD，由切线的性质可得∠ODC＝90°，可得∠BDO+∠ADC＝90°，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可证∠A＝∠ADC，可得DC＝AC；
（2）由等腰三角形的性质可得∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，由三角形内角和定理可求∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴DC＝OD＝，
故答案为：．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为 4 ，AB的长为 2 ；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为 （用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为 16 ．
【分析】（1）利用两点间距离公式求解即可．
（2）求出直线AB的解析式，利用待定系数法即可解决问题．
（3）求出PN，PM即可解决问题．
（4）如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA＝＝4，AB＝＝2．
故答案为4，2．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
由题意点N的纵坐标为1，
令y＝1，则1＝﹣2x+12，
∴x＝，
∴N（，1）．
（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝﹣2x+12，得到x＝，
∴N（，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，
∴OP＝PM＝t，
∴MN＝PN﹣PM＝﹣t＝．
故答案为．
（4）．如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．
由题意S1•S2＝•m×4×（4﹣m）×4＝﹣4m2+16m＝﹣4（m﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1•S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为 或 ．
【分析】（1）①证明△PBA≌△DBC（SAS）可得结论．
②利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）证明△CBD∽△ABP，可得＝＝解决问题．
（3）分两种情形，解直角三角形求出AD即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图①中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．
②解：如图①中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
（2）解：结论：CD＝PA．
理由：如图②中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝BA，BD＝BP，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴＝＝，
∴CD＝PA．
（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．
如图3﹣1中，当△PBA是钝角三角形时，
在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°，
∴AN＝AB•cos60°＝3，BN＝AB•sin60°＝3，
∵PN＝＝＝2，
∴PA＝3﹣2＝1，
由（2）可知，CD＝PA＝，
∵∠BAP＝∠BDC，
∴∠DCA＝∠PBD＝30°，
∵DM⊥PC，
∴DM＝CD＝
如图3﹣2中，当△ABN是锐角三角形时，同法可得PA＝2＝3＝5，CD＝5，DM＝CD＝，
综上所述，满足条件的DM的值为或．
故答案为或．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 等边三角形 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为 （6，﹣2） ．
【分析】（1）将点B，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求抛物线的表达式；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB，由旋转的性质可得OD＝3，∠COD＝30°，由直角三角形的性质可得OH＝OH＝，DH＝OH＝，由锐角三角函数可求∠HBD＝30°，由对称性可得BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，可证△BMN是等边三角形；
②由三角形面积公式可求S2，S1，由等边三角形的面积公式可求MN的长，由对称性可求MR＝NR＝，由直角三角形的性质可求BR＝3，可得OR＝3，即可求点M坐标；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．想办法证明△BFK是等边三角形，推出BG⊥x轴即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，
∵点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD，
∴OD＝3，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH＝30°，
∴OH＝OH＝，DH＝OH＝，
∴BH＝OB﹣OH＝，
∵tan∠HBD＝＝＝，
∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，
∴∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②∵△ODB的面积S2＝×OB×DH＝×6×＝，且S1＝S2，
∴S1＝×＝3，
∵△BMN是等边三角形，
∴S1＝MN2＝3，
∴MN＝2，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴MR＝NR＝，MN⊥OB，
∵∠MBH＝30°，
∴BR＝MR＝3，
∴OR＝3，
∵点M在第四象限，
∴点M坐标为（3，﹣）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．
由题意BE＝BF＝6，FK∥B，
∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH＝a，
在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°，
∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（2+a）2+（a）2，
解得a＝或﹣2（不符合题意舍弃），
∴FG＝BG＝2，
∴∠GBF＝∠GFB＝30°，
∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时F与K重合，BG⊥KF，
∵KF∥x轴，
∴BG⊥x轴，
∴G（6，﹣2）．