2021年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）（2021•眉山）6的相反数是
A． B． C． D．6
2．（4分）（2021•眉山）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2021•眉山）下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
4．（4分）（2021•眉山）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．（4分）（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为
A． B． C． D．
6．（4分）（2021•眉山）化简的结果是
A． B． C． D．
7．（4分）（2021•眉山）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是
A．80，90 B．90，90 C．86，90 D．90，94
8．（4分）（2021•眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是
A． B． C． D．
9．（4分）（2021•眉山）已知一元二次方程的两根为，，则的值为
A． B． C．2 D．5
10．（4分）（2021•眉山）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为
A． B． C． D．
11．（4分）（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为
A． B． C． D．
12．（4分）（2021•眉山）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.
13．（4分）（2021•眉山）分解因式： ．
14．（4分）（2021•眉山）一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是 ．
15．（4分）（2021•眉山）如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为 ．
16．（4分）（2021•眉山）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是 ．
17．（4分）（2021•眉山）观察下列等式：；
；
；
根据以上规律，计算 ．
18．（4分）（2021•眉山）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）（2021•眉山）计算：．
20．（8分）（2021•眉山）解方程组：．
21．（10分）（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生，，是初一学生，1名学生为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
22．（10分）（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从处测得该建筑物顶端的俯角为，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达处，测得顶端的俯角为，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：，，
23．（10分）（2021•眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
24．（10分）（2021•眉山）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）求的面积．
25．（10分）（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，．
（1）求证：；
（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；
（3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．
26．（12分）（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．
2021年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）（2021•眉山）6的相反数是
A． B． C． D．6
【解答】解：相反数指的是两个数符号不同但绝对值相同，所以6的相反数为．
故选：．
2．（4分）（2021•眉山）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解：200万，
故选：．
3．（4分）（2021•眉山）下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：，故项不符合题意；
，故项不符合题意；
，故项符合题意；
，故项不符合题意；
故选：．
4．（4分）（2021•眉山）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长交矩形纸片于，
，
．
故选：．
5．（4分）（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为
A． B． C． D．
【解答】解：这个八边形的内角和为：
；
这个八边形的每个内角的度数为：
；
这个八边形的每个外角的度数为：
；
这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
．
故选：．
6．（4分）（2021•眉山）化简的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式
，
故选：．
7．（4分）（2021•眉山）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是
A．80，90 B．90，90 C．86，90 D．90，94
【解答】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，
所以这组数据的中位数是90，众数为90，
故选：．
8．（4分）（2021•眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是
A． B． C． D．
【解答】解：观察图形可知：
圆锥母线长为：（米，
所以该整流罩的侧面积为：（平方米）．
答：该整流罩的侧面积是平方米．
故选：．
9．（4分）（2021•眉山）已知一元二次方程的两根为，，则的值为
A． B． C．2 D．5
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故选：．
10．（4分）（2021•眉山）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
故选：．
11．（4分）（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故选：．
12．（4分）（2021•眉山）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：①，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论①正确；
②如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
故结论②正确；
③，
，即，
故结论③正确；
④如图，延长至，使，连接，
，，
点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，
，
点运动的路程是，
故结论④正确；
故选：．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.
13．（4分）（2021•眉山）分解因式： ．
【解答】解：原式，
故答案为：
14．（4分）（2021•眉山）一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是 ．
【解答】解：一次函数的值随值的增大而减少，
，解得．
故答案为：．
15．（4分）（2021•眉山）如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为 ．
【解答】解：如图所示：连接，
由作图方法可得：垂直平分，
则，
，，平分交于点，
，，
在中，，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
故的长为．
故答案为：．
16．（4分）（2021•眉山）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是 ．
【解答】解：解不等式得：，
根据题意得：，
即，
故答案是：．
17．（4分）（2021•眉山）观察下列等式：；
；
；
根据以上规律，计算 ．
【解答】解：；
；
；
，
故答案为：．
18．（4分）（2021•眉山）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ．
【解答】解：如图，过点作于，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
当点，点，点共线且时，有最小值为，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）（2021•眉山）计算：．
【解答】解：原式
．
20．（8分）（2021•眉山）解方程组：．
【解答】解：方程组整理得：，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
则方程组的解为．
21．（10分）（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，其中“了解较多”的占 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生，，是初一学生，1名学生为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有（人，
“了解较多”的所占的百分比是：．
故答案为：50，30；
（2）“基本了解”的人数为（人，
补全图形如下：
（3）（人，
答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人．
故答案为：780；
（4）列表如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种，
则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为．
22．（10分）（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从处测得该建筑物顶端的俯角为，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达处，测得顶端的俯角为，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：，，
【解答】解：过作于，如图所示：
则，
由题意得：米，，，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
（米，
（米，
即这栋建筑物的高度为43.6米．
23．（10分）（2021•眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
24．（10分）（2021•眉山）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线，且与的外接圆相切，与双曲线在第二象限内的图象交于、两点．
（1）求点，的坐标和的半径；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）求的面积．
【解答】解：（1）对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，
为直角，则是圆的直径，
由点、的坐标得：，
故圆的半径；
（2）过点作于点，设直线与圆切于点，
连接，则，
则，
在中，，
即直线向上平移个单位得到，
故的表达式为；
（3）由直线的表达式知，点，
联立的表达式和反比例函数表达式并整理得：，
解得：或，
故点的坐标为，
由点、的坐标得：，
则的面积．
25．（10分）（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，．
（1）求证：；
（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；
（3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．
【解答】解：（1）如图1，四边形是正方形，
，；
，
，
在和中，
，
．
（2）如图2，过点作于点，则．
，，
，
，
，
；
，，
，
，
，
；
，
，
．
（3）如图3，、、三点在同一直线上，且点在点和点之间．
，，
；
由，得，
，
点、、在同一条直线上，
，
，且，，
，
解得或（不符合题意，舍去）；
如图4，、、三点在同一直线上，且点在的延长线上．
，，，
，
，
，
，
点、、在同一条直线上；
，，，
，
；
，
，
解得或（不符合题意，舍去）．
综上所述，的长为或．
26．（12分）（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为，
则，
即，解得，
故抛物线的表达式为①；
（2）由点、的坐标知，，
故将的面积分成两部分，此时，点不在抛物线上；
如图1，当时，将的面积分成两部分，
即点的坐标为，
则和抛物线的交点即为点，
由点、的坐标得，直线的表达式为②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为；
（3）在上取点，则，
，故，
过点作于点，
在中，由知，，
则，
由点、的坐标知，，
则，
则，
则，
则，
故或10，
则或10．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/10 18:43:37；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736